Черноуцан А.И. Задачи с распределенной массой // Квант

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

Две основные модели механики – это материальная точка и твердое тело. В отличие от точек, твердые тела могут двигаться не только поступательно, но и вращательно.

Поскольку динамику вращательного движения твердого тела в школе не изучают, большинство задач динамики посвящено движению точки. И, тем не менее, некоторые школьные задач и (как олимпиадные, так и вступительные) имеют дело с протяженными телами, массу которых нельзя считать сосредоточенной в одной точке.

В этой статье будут рассмотрены разнообразные линейные объекты – веревки (пассивные нити), цепочки, струн, масса которых распределена вдоль одной линии. Подход к обсуждению движения таких тел, в сущности, обычный – в основе лежат уравнения динамики точки для небольшого элемента протяженного тела. При этом в одних случаях достаточно записать уравнения динамики для одного-единственного элемента линейного объекта. Главное – правильно этот элемент выбрать. В других случаях возникает необходимость просуммировать уравнения движения, записанные для отдельных элементов, по всей длине. При удачной записи уравнений (при проектировании на удачно выбранные оси) суммирование может оказаться совсем несложным.

Теперь конкретные задачи.

Задача 1. Струя воды сечением S ударяется о стенку, расхоложенную перпендикулярно струе. Скорость воды в струе υ, после удара вода теряет скорость и стекает по стенке. Какова сила давления воды на стенку? Плотность воды ρ.

Рис. 1.

Изменение импульса воды за время Δt равно импульсу силы реакции, действующей на воду со стороны стенки, а по третьему закону Ньютона эта сила равна по величине искомой силе давления струн на стенку. Изменение импульса воды сводится к изменению импульса элемента струи длиной , который за время Δt пришел в соприкосновение со стенкой (рис. 1):

Подставляя  и сокращая из Δt,получаем

Характерно, что интервал времени Δt и длина элемента струи Δl выбираются произвольно, но в ответ они, конечно же, не входят.

Задача 2. Космический корабль массой M движется в глубоком космосе. Для управления кораблем используется реактивный двигатель, который выбрасывает реактивную струю со скоростью  относительно корабля, причем расход топлива в струе равен μ (расход топлива – это масса топлива, выбрасываемая за единицу времени). Найдите ускорение корабля.

Изменение импульса замкнутой системы корабль-топливо за время Δt равно нулю. Запишем закон сохранения импульса в системе отсчета, в которой скорость корабля в начале этого интервала времени равна нулю:

где  – изменение скорости корабля. Перепишем это уравнение в виде

Стоящее в правой части выражение называется реактивной силой. Если на корабль действует еще и внешняя сила  (например, со стороны поля тяготения), то ускорение корабля  вычисляется по формуле

Это уравнение называется уравнением Мещерского. При его решении, вообще говоря, надо учитывать, что масса корабля Μ уменьшается со временем.

Задача 3. Тонкая цепочка длиной l и массой m удерживается за верхний конец так, что нижним концом она касается земли. Цепочку отпускают, и она начинает падать. Найдите силу давления цепочки на землю через время t. Цепочка неупругая и мягкая.

Поскольку цепочка мягкая, сила взаимодействия нижних звеньев с поверхностью не передается верхним, которые свободно падают с ускорение g. К моменту времени t часть цепочки длиной  и массой   лежит на земле, а верхняя часть цепочки падает со скоростью υ = g·t. Сила реакции земли, равная по величине силе давления цепочки, складывается из двух частей. Одна уравновешивает силу тяжести неподвижной части цепочки и равна

Вторая связана с изменением импульса элемента цепочки длиной  и массой  при его соприкосновении с поверхностью и находятся из уравнения , откуда

Видно, что F₂ = 2F₁, а полная сила давления

в три раза больше веса неподвижной части цепочки. Перед самым концом падения эта сила достигает максимального значения 3m·g.

Задача 4. Длинная тонкая цепочка перекинута через блок так, что ее правая часть свисает до пола, а левая лежит, свернувшись клубком, на уступе высотой Н (рис. 2). Цепочку отпускают, и она приходит в движение. Найдите установившуюся скорость движения цепочки. Блок идеальный, цепочка неупругая.

Рис. 2.

Рассмотрим сначала правую часть цепочки. Поскольку цепочка неупругая и мягкая, взаимодействие с полом нижнего звена не передается верхним. Значит, натяжение цепочки возле пола равно нулю. Так как цепочка при установившемся режиме движется равномерно, натяжение на некоторой высоте h равно весу нижней части цепочки:

T_h = λ·g·h,

где λ – масса единицы длины цепочки. Перейдем теперь к левой части цепочки. Натяжение в нижней части, над самым уступом, можно найти, записав изменение импульса элемента цепочки длиной  и массой , который за время Δt приходит в движение:

 или .

При равномерном движении натяжения справа и слева на одном уровне должны быть равны

T_h = T_H,

откуда получаем

 или .

Попробуем решить эту задачу из энергетических соображений. Если быть не очень внимательным, можно легко прийти к противоречию с полученным выше результатом. Казалось бы, при установившемся движении цепочки, paбота силы тяжести за время Δt должна быть равна выделившемуся за то же время количеству теплоты. Работа равна , а количество теплоты, выделяющееся при неупругом ударе о пол элемента длиной , равно . Однако, если приравнять эти выражение, получим ответ, в  раз больший предыдущего. В чем же здесь дело?

Оказывается, тепло выделяется не только при неупругом ударе элемента цепочки о пол, но и (хотя это не столь очевидно) при разгоне такого же элемента на уступе до скорости υ. Более того, эти количества теплоты оказываются одинаковыми. Это приводит к тому, что общее количество теплоты увеличивается вдвое и лишний  из ответа исчезает. Действительно, сравним работу силы натяжения при подъеме элемента длиной  с уступа  с кинетической энергией, приобретенной этим элементом: .

Видно, что работа в два раза больше, а разность между работой и энергией как раз равна количеству теплоты, которое выделитесь при разгоне этого элемента.

Чтобы лучше понять механизм выделения тепла, представим себе, что мы хотим разогнать тело массой mдо скорости υ при помощи пружины, для чего начнем перемешать конец пружины с постоянной скоростью υ. Если пружина идеальная, то скорость тела никогда не установится, так как колебательный процесс никогда не прекратится. Если же пружина не идеальная, то колебания в конце концов затухнут и тело приобретет скорость υ. Чтобы узнать, сколько за это время выделилось тепла, надо перейти в систему отсчета, в которой конец пружины покоится. В этой системе начальная кинетический энергия тела  полностью перейдет в тепло. Значит, приобретенная телом кинетическая энергии при разгоне равна количеству теплоты, которое при этом выделяется.

Задача 5. Тонкое веревочное кольцо массой m и радиусом R положили на гладкую горизонтальную поверхность и раскрутили до угловой скорости ω. Найдите силу натяжения веревки.

Запишем второй закон Ньютона для элемента веревки длиной Δl и массой , который виден из центра окружности под малым углом  (рис. 3). Действующая на элемент, сила равна векторной сумме двух сил натяжения: . Из второго закона Ньютона  находим

Рис. 3.

Полученный результат имеет неожиданное применение с его помощью можно найти положение центра масс (центра тяжести) тонкой однородной полуокружности. Действительно, сила, действующая на вращающуюся полуокружность, равна 2Т, а в уравнение движения входит ускорение центра масс, где х – расстояние от центра окружности до центра масс полуокружности. Подставляя Т получаем .

Задача 6. Веревку длиной l и массой m кладут на гладкое горизонтальное бревно радиусом R (рис. 4), причем вначале веревку удерживают за верхний конец, прикладывая горизонтальную силу F, а затем отпускают. Определите:а) значение силы F; б) ускорение веревки в первый момент.

Рис. 4.

Обозначим через Н расстояние по вертикали (разность высот) между верхней и нижней точками веревки. Если веревка свешивается с бревна , то, если же нет, то . Как мы увидим, в ответ будет входить только Н.

Запишем второй закон Ньютона для элемента веревки длиной Δl и массы  (λ – масса единицы длины веревки) в проекциях на ось, направленную вдоль этого элемента (рис. 5):

Рис. 5.

Здесь ΔT – разность между натяжениями на концах элемента, а – ускорение веревки (в первом случае, пока веревку удерживают, надо положить а = 0). Перед тем как просуммировать эти уравнения, заметим, что , где Δh – расстояние по вертикали между концами элемента.

Теперь просуммируем уравнения вдоль всей длины веревки. Сумма всех ΔΤ равна разности сил натяжения на концах веревки, т.е. для неподвижной веревки это – F, а для свободной веревки это ноль. В случае а) получаем уравнение

, откуда .

В случае б) –

, откуда .

Эту задачу можно решить и из энергетических соображений, причем в этом случае удается обойтись без суммирования. Начнем с неподвижной веревки. Сместив коней веревки на малое расстояние Δx, мы совершим работу F·Δx, которая должна равняться изменению потенциальной энергии веревки ΔΕ. Заметим, что для расчета потенциальной энергии можно считать, что вся веревка осталась на месте, а элемент длинойΔх был перенесен с одного конца веревки на другой. Значит, . Приравнивая изменение энергии к работе, получаем . Для свободной веревки надо ΔΕ приравнять к кинетической энергия, а для определения ускорения – использовать кинематическое выражение . Сделайте это сами и, кроме того, подумайте, почему получается. Если поймете, то вторая часть задачи станет просто продолжением первой.

Задачи 7. Цепочку массой m и длиной l подвесили за концы к потолку (рис. 6). При этом оказалось, что в местах закрепления цепочка образует углы α с вертикалью. Найдите расстояние h от нижней точки цепочки до потолка.

Рис. 6.

Используя метод суммирования, описанный в предыдущей задаче, найдем соотношение между натяжениями в нижней точке А и в верхней точке В:

Кроме того, запишем условия равновесия половины цепочки в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси:

Выразим отсюда Т_А и Т_В подставим их в первое уравнение и получим

Упражнения

1. По трубе сечением S движется вода со скоростью υ. Найдите силу, с которой вода действует на трубу в том месте, где труба делает поворот на 90°. Плотность воды ρ.

2. Готовяськ прыжку, кобра поднимает голову со скоростью υ. Найдите силу давления кобры на землю. Массу кобры mсчитать равномерно распределенной вдоль туловища длиной l.

3. Через застопоренный блок (который не может вращаться) перекинули веревку длиной l так, что один ее конец находится на Δh выше другого. Считая поверхность блока идеально гладкой, найдите с каким ускорением начнет соскальзывать веревка.

4. Веревку длиной l закрепили за концы на разных уровнях. Оказалось, что у одного конца веревка обpaзyeт с вертикалью угол α, а у другого – угол β. На сколько первый конец веревки выше второго?

Ответы

1.

2.

3.

4.