Решение.
Определим толщину пленки. \[ \begin{align}
& {{S}_{1}}={{S}_{2}}+l\cdot d\ \ \ (1),\ {{S}_{1}}=\pi \cdot {{R}^{2}}\ \ \ (2),\ {{S}_{2}}=\pi \cdot {{r}^{2}}\ \ \ (3),\ l=\ \upsilon \cdot t\ \ \ (4),\ \pi \cdot {{R}^{2}}=\pi \cdot {{r}^{2}}+\ \upsilon \cdot t\cdot d\ , \\
& d=\frac{\pi \cdot {{R}^{2}}-\pi \cdot {{r}^{2}}}{\ \upsilon \cdot T}\ \ \ \ (5). \\
\end{align} \]
Где: l – длина пленки, d – толщина пленки, S1 – площадь бобины с пленкой, S2 – площадь оставшейся части бобины когда пленка проиграется.
Определим, как зависит угловая скорость вращения бобины от времени?
При проигрывании пленки угловая скорость вращения бобины увеличивается.\[ \begin{align}
& \omega ={{\omega }_{0}}+\varepsilon \cdot t\ \ \ (6),\ {{\omega }_{0}}=\frac{2\cdot \pi }{R}\ \ \ (7),\ \varepsilon =\frac{{{\omega }_{K}}-{{\omega }_{0}}}{T}\ \ \ (8\ ),\ {{\omega }_{K}}=\frac{2\cdot \pi }{r}\ \ \ (9), \\
& \omega =\frac{2\cdot \pi }{R}+\frac{\frac{2\cdot \pi }{r}-\frac{2\cdot \pi }{R}}{T}\cdot t\ ,\ \omega =\frac{2\cdot \pi }{R}+\frac{2\cdot \pi \cdot (R-r)}{R\cdot r\cdot T}\cdot t\ \ (10). \\
\end{align}
\]
ω0 – начальная угловая скорость, ε – быстрота изменения угловой скорости, ωК – конечная угловая скорость.