Решение. Полная энергия спутника равна суме его потенциальной энергии относительно центра Земли и его кинетической энергии.
Определим отношение полных энергий спутников
(E1/E2) \[ {{E}_{p}}=m\cdot g\cdot R(1),{{E}_{k}}=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}(2),g=\frac{G\cdot M}{{{R}^{2}}}(3),E=m\cdot \frac{G\cdot M}{{{R}^{2}}}\cdot R+\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}(4). \]
Где:
g - ускорение свободного падения на расстоянии
R от центра Земли.
Определим квадрат скорости спутника используя закон Всемирного тяготения
\[ F=G\cdot \frac{M\cdot m}{{{R}^{2}}}(5),a=\frac{F}{m}=G\cdot \frac{M}{{{R}^{2}}},a=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{R}(6),\frac{{{\upsilon }^{2}}}{R}=G\cdot \frac{M}{{{R}^{2}}},{{\upsilon }^{2}}=G\cdot \frac{M}{R}(7). \]
\[ \frac{{{E}_{1}}}{{{E}_{2}}}=\frac{m\cdot \frac{G\cdot M}{R_{1}^{2}}\cdot {{R}_{1}}+\frac{m}{2}\cdot \frac{G\cdot M}{{{R}_{1}}}}{m\cdot \frac{G\cdot M}{R_{2}^{2}}\cdot {{R}_{2}}+\frac{m}{2}\cdot \frac{G\cdot M}{{{R}_{2}}}}=\frac{3\cdot \frac{m}{2}\cdot \frac{G\cdot M}{{{R}_{1}}}}{3\cdot \frac{m}{2}\cdot \frac{G\cdot M}{{{R}_{2}}}}=\frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}}. \]
Определим отношение их моментов импульса
(L1/L2).Модуль момента импульса спутника относительно Земли запишется в виде
\[ \begin{align}
& L=m\cdot R\cdot \upsilon ,\upsilon =\sqrt{\frac{G\cdot M}{R}},L=m\cdot R\cdot \sqrt{\frac{G\cdot M}{R}}. \\
& \frac{{{L}_{1}}}{{{L}_{2}}}=\frac{m\cdot {{R}_{1}}\cdot \sqrt{\frac{G\cdot M}{{{R}_{1}}}}}{m\cdot {{R}_{2}}\cdot \sqrt{\frac{G\cdot M}{{{R}_{2}}}}}=\sqrt{\frac{{{R}_{1}}}{{{R}_{2}}}}. \\
\end{align}
\]
.
Последние сообщения