Длина волны головной линии серии Лаймана в спектре атомарного водорода

[Антон Огурцевич]

2. Длина волны головной линии серии Лаймана в спектре атомарного водорода равна 1215 Å. Известны, кроме того, значения скорости света и постоянной Планка. Вычислить на основании только этих данных энергию ионизации атома водорода. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение. В серии Лаймана электрон в атоме водорода переходит с верхних энергетических уровней на первый энергетический уровень. Максимальная длина волны достигается при переходе с второго на первый энергетический уровень.
Для атома водорода справедлива формула Бальмера для определения длины волны:

\[ \begin{align}
  & \nu =c\cdot R\cdot (\frac{1}{{{m}^{2}}}-\frac{1}{{{n}^{2}}}),\ \nu =\frac{c}{\lambda },\frac{1}{{{\lambda }_{nm}}}=R\cdot (\frac{1}{{{m}^{2}}}-\frac{1}{{{n}^{2}}}),\ {{\lambda }_{nm}}=\frac{1}{R\cdot (\frac{1}{{{m}^{2}}}-\frac{1}{{{n}^{2}}})}\ \ (1). \\
 & m=1,n=2. \\
 & {{\lambda }_{nm}}=\frac{{{m}^{2}}\cdot {{n}^{2}}}{R\cdot ({{n}^{2}}-{{m}^{2}})}\ (2).{{\lambda }_{nm}}=\frac{{{1}^{2}}\cdot {{2}^{2}}}{R\cdot ({{2}^{2}}-{{1}^{2}})},{{\lambda }_{nm}}=\frac{4}{R\cdot 3}. \\
\end{align} \]

R – постоянная Ридберга, R = 1,097737∙10⁷ м^-1, с = 3∙10⁸ м/с, с – скорость света, h – постоянная Планка, h = 6,63∙10^-34 Дж∙с, е – модуль заряда электрона, е = 1,6 ∙10^-19 Кл.
Длину волны ионизации определим если электрон переходит с 1 энергетического уровня на бесконечный энергетический уровень

\[ \begin{align}
  & \nu =c\cdot R\cdot (\frac{1}{{{m}^{2}}}-\frac{1}{{{n}^{2}}}),\ \nu =\frac{c}{\lambda },\frac{1}{{{\lambda }_{nm}}}=R\cdot (\frac{1}{{{m}^{2}}}-\frac{1}{{{n}^{2}}}),\ {{\lambda }_{nm}}=\frac{1}{R\cdot (\frac{1}{{{m}^{2}}}-\frac{1}{{{n}^{2}}})}\ \ (1). \\
 & m=\infty ,n=1. \\
 & \lambda =\frac{{{m}^{2}}\cdot {{n}^{2}}}{R\cdot ({{n}^{2}}-{{m}^{2}})}\ (2).\lambda =\frac{{{1}^{2}}}{R\cdot {{1}^{2}}},\lambda =\frac{1}{R}. \\
\end{align}
 \]

Определим энергию ионизации

\[ \begin{align}
  & E=\frac{h\cdot c}{\lambda },\frac{{{\lambda }_{mn}}}{\lambda }=\frac{4}{3\cdot R}\cdot \frac{R}{1},\lambda =\frac{3}{4}\cdot {{\lambda }_{mn}},E=\frac{h\cdot c\cdot 4}{3\cdot {{\lambda }_{mn}}}. \\
 & E=\frac{6,63\cdot {{10}^{-34}}\cdot 3\cdot {{10}^{8}}\cdot 4}{3\cdot 1215\cdot {{10}^{-10}}}=0,021827\cdot {{10}^{-16}}=21,827\cdot {{10}^{-19}}. \\
 & E=\frac{21,827\cdot {{10}^{-19}}}{1,6\cdot {{10}^{-19}}}=13,64. \\
\end{align} \]

Ответ: 21,827∙10^-19 Дж, 13,64 эВ.