Два груза на наклонных плоскостях связаны нитью, перекинутой через блок

[Deniska]

Два одинаковых груза связаны между собой нитью, перекинутой через невесомый блок. Плоскости, на которых находятся грузы, составляют с горизонтом углы 18° и 66°. Коэффициент трения грузов о плоскости одинаков и равен 0,04. Найти ускорение грузов.

[alsak]

В таких системах вначале необходимо определить направление движения грузов. Это можно сделать так: определим, куда бы двигались грузы, если бы не было силы трения. В этом случае на грузы действуют силы тяжести (m₁∙g, m₂∙g), силы реакции опоры (N₁, N₂) и силы натяжения нити (T₁, T₂) (рис. 1). Запишем второй закон Ньютона для каждого груза:
\[m_{1} \cdot \vec{a}=m_{1} \cdot \vec{g}+\vec{T}_{1} +\vec{N}_{1}, \; \; \; m_{2} \cdot \vec{a}=m_{2} \cdot \vec{g}+\vec{T}_{2} +\vec{N}_{2} ,\]

0X:   m₁∙a_1x = –m₁∙g∙sin α + T₁,

m₂∙a_2x = m₂∙g∙sin β – T₂,

где m₁ = m₂ = m (одинаковые грузы), T₁ = T₂ = T, a_1x = a_2x = a_x (т.к. грузы связаны нитью), α = 18°, β = 66°. Тогда

m∙a_x = –m∙g∙sin α + T,   m∙a_x = m∙g∙sin β – T,

2m∙a_x = m∙g∙(sin β – sin α),

\[a_{x} =\frac{g\cdot \left(\sin \beta -\sin \alpha \right)}{2} >0.\]

Так как a_x > 0, то грузы начнут двигаться вдоль осей 0Х, т.е. первый груз — вверх, второй — вниз. В этом случае силы трения будут направлены в противоположные стороны движения (рис. 2). Запишем второй закон Ньютона для каждого груза:
\[m_{1} \cdot \vec{a}=m_{1} \cdot \vec{g}+\vec{T}_{1} +\vec{N}_{1} +\vec{F}_{tr1}, \; \; \; m_{2} \cdot \vec{a}=m_{2} \cdot \vec{g}+\vec{T}_{2} +\vec{N}_{2} +\vec{F}_{tr2} ,\]

0X:   m₁∙a₁ = –m₁∙g∙sin α + T₁ – F_tr1,   m₂∙a₂ = m₂∙g∙sin β – T₂ – F_tr2,

0Y:   0 = N₁ – m₁∙g∙cos α,   0 = N₂ – m₂∙g∙cos β,

где m₁ = m₂ = m (одинаковые грузы), T₁ = T₂ = T, a₁ = a₂ = a (т.к. грузы связаны нитью), α = 18°, β = 66°, F_tr1 = μ∙N₁ = μ∙m₁∙g∙cos α, F_tr2 = μ∙N₂ = μ∙m₂∙g∙cos β. Тогда

m∙a = –m∙g∙sin α + T – μ∙m∙g∙cos α,

m∙a = m∙g∙sin β – T – μ∙m∙g∙cos β,

2m∙a = m∙g∙(sin β – sin α) – μ∙m∙g∙(cos β + cos α),

\[a=g\cdot \frac{\left(\sin \beta -\sin \alpha \right)-\mu \cdot \left(\cos \beta +\cos \alpha \right)}{2} ,\]
a = 2,8 м/с² (g = 10 м/с²).