движение тела под углом к горизонту

[himik]

С какой наименьшей скоростью должен бросить камень мальчик с берега реки шириной L = 12 м , чтобы перебросить его на другой берег, если он бросает этот камень с высоты h = 1 м от поверхности воды под углом А = 30⁰ к горизонту? Сопротивлением воздуха пренебречь.

источник неизвестен, судя по всему - это журнал "Квант", вступительные экзамены в Московский государственный институт электронной техники.

Спасибо.

[Kivir]

Решение: для описания движения камня воспользуемся уравнением зависимости координаты тела от времени:
\[ \begin{array}{l} {x=x_{0} +\upsilon _{0x} \cdot t+\frac{a_{x} \cdot t^{2} }{2} ,} \\ {y=y_{0} +\upsilon _{0y} \cdot t+\frac{a_{y} \cdot t^{2} }{2} .} \end{array} \]
В выбранной системе координат:

υ_0x = υ₀∙cosα,   υ_0y = υ₀∙sinα,  x₀ = 0, y₀ = h,  a_x = 0,  a_y = – g.

\[ \begin{array}{l} {x=\upsilon _{0} \cos \alpha \cdot t,} \\ {y=h+\upsilon _{0} \sin \alpha \cdot t-\frac{g\cdot t^{2} }{2} .} \end{array} \]
Пусть начальная скорость будет такой, что камень только смог перелететь реку, и коснулся берега прямо у воды (при этом будет минимальная ско-рость броска). Пусть время полёта t = t₁, тогда координаты:  x = L, y = 0.
\[ \begin{array}{l} {L=\upsilon _{0} \cos \alpha \cdot t_{1} ,} \\ {0=h+\upsilon _{0} \sin \alpha \cdot t_{1} -\frac{g\cdot t_{1}^{2} }{2} .} \end{array} \]
Из первого уравнения выразим время полёта t₁:
\[ t_{1} =\frac{L}{\upsilon _{0} \cos \alpha } , \]
подставим во второе уравнение:
\[ 0=h+\upsilon _{0} \sin \alpha \cdot \frac{L}{\upsilon _{0} \cos \alpha } -\frac{g}{2} \cdot \frac{L^{2} }{\upsilon _{0}^{2} \cos ^{2} \alpha } .  \]
получим:
\[ \upsilon _{0} =\frac{L}{\cos \alpha } \cdot \sqrt{\frac{g}{2\cdot \left(h+Ltg\alpha \right)} } . \]
Ответ: 11 м/с.