8. Закон сохранения энергии

[Сергей]

Тест А 2. 2. Мальчик, стреляя из рогатки, натянул резиновый шнур так, что его длина стала больше на ∆l = 10 см. Если жесткость шнура k = 1,0 кН/м, а масса камня m = 20 г, то модуль скорости камня составит:
1) 45 м/с; 2) 14 м/с; 3) 38 м/с; 4) 22 м/с; 5) 11 м/с.
Решение. Для решения задачи используем закон сохранения энергии. Потенциальная энергия упруго деформированного шнура перейдет в кинетическую энергию камня.

\[ \frac{k\cdot \Delta {{l}^{2}}}{2}=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2},\ \upsilon =\Delta l\cdot \sqrt{\frac{k}{m}},\ \upsilon =0,1\cdot \sqrt{\frac{1000}{0,02}}=22,3. \]

Ответ: 4) 22 м/с.

[Сергей]

Тест А 2. 3. Если потерями механической энергии при ударе и сопротивлением воздуха пренебречь, то модуль начальной скорости, с которым необходимо бросить мяч с высоты h, чтобы он подпрыгнул на высоту 2∙h, составляет:
1) √(g∙h)/2;  2) 2∙√(g∙h); 3) √(2∙g∙h);  4) √(g∙h); 5) √(g∙h)/2.
Решение. Запишем закон сохранения энергии. В момент бросания тело имело кинетическую и потенциальную энергию, когда тело подпрыгнуло на высоту 2∙h, оно имело только потенциальную энергию.

\[ \begin{align}
  & m\cdot g\cdot h+\frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2}}{2}=m\cdot g\cdot 2\cdot h,\ \frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2}}{2}=m\cdot g\cdot h,\ \upsilon _{0}^{2}=\frac{2\cdot m\cdot g\cdot h}{m}, \\
 & \upsilon =\sqrt{2\cdot g\cdot h}. \\
\end{align}
 \]

Ответ: 3) √(2∙g∙h).

[Сергей]

Тест А 2. 4. Тело брошено вертикально вверх со скоростью, модуль которой υ₀ = 16 м/с. Кинетическая энергия тела будет равна его потенциальной энергии на высоте:
1) 4,2 м; 2) 6,5 м; 3) 8,0 м; 4) 13 м; 5) I6 м.
Решение. Запишем закон сохранения энергии. В момент бросания тело имело только кинетическую энергию, на некоторой высоте тело имело кинетическую и потенциальную энергию, причем на этой высоте кинетическая энергия тела будет равна его потенциальной энергии.

\[ \begin{align}
  & \frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2}}{2}=m\cdot g\cdot h+\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2},\ \frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}=m\cdot g\cdot h,\ \frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2}}{2}=2\cdot m\cdot g\cdot h, \\
 & h=\frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2}}{2\cdot 2\cdot m\cdot g},\ h=\frac{\upsilon _{0}^{2}}{4\cdot g}.\ h=\frac{16\cdot 16}{4\cdot 10}=6,4. \\
\end{align} \]

Ответ: 2) 6,5 м.

[Сергей]

Тест А 2. 5.Тело брошено с поверхности земли со скоростью, модуль которой υ₀ = 8,0 м/с, под углом α = 60° к горизонту. Модуль скорости тела на высоте h = 2,0 м составит:
1) 25 м/с: 2) 22 м/с; 3) 20 м/с; 4) 5,0 м/с; 5) 2,2 м/с.
Решение.  Запишем закон сохранения энергии.

\[ \begin{align}
  & \frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2}}{2}=m\cdot g\cdot h+\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2},\ \frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}=\frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2}}{2}-m\cdot g\cdot h,\ \frac{{{\upsilon }^{2}}}{2}=\frac{\upsilon _{0}^{2}}{2}-g\cdot h, \\
 & {{\upsilon }^{2}}=\upsilon _{0}^{2}-2\cdot g\cdot h,\ {{\upsilon }_{0}}=\sqrt{\upsilon _{0}^{2}-2\cdot g\cdot h}.\ {{\upsilon }_{0}}=\sqrt{{{8,0}^{2}}-2\cdot 10\cdot 2,0}=4,89. \\
\end{align} \]

Ответ: 4) 5,0 м/с.

[Сергей]

Тест А 2. 6. Тело соскальзывает с горки высотой h = 200 см с углом наклона α = 30,0° и движется до остановки по горизонтальной поверхности Если коэффициент трения на всем пути μ = 0,100, то путь, пройденный телом во время движения, составит:
1) 8,00 м; 2) 16,2 м; 3) 20,5 м; 4) 24,4 м; 5) 32,0 м.
Решение.
Покажем рисунок.
 При наличии сопротивления закон сохранения энергии в замкнутой системе не соблюдается. Полная начальная энергия тела равна потенциальной энергии в точке А, полная конечная энергия в точке С равна нулю. Вся механическая энергия перейдет во внутреннюю энергию.

Е_А + А₁ + А₂ = 0   (1).

А₁ – работа силы трения на участке АВ, А₂ – работа силы трения на участке ВС.

Е_А = m∙g∙h   (2), А₁ = F_T1∙l₁∙соsβ₁    (3), А₂ = F_T2∙l₂∙соsβ₂    (4),

β₁ = β₂ = 180°, соs180° = -1 .
Определим работу силы трения на участке АВ. Запишем второй закон Ньютона, найдем проекции на ось Оу, найдем силу трения на участке АВ.

\[ \begin{align}
  & \vec{F}=m\cdot {{{\vec{a}}}_{1}},\ {{{\vec{F}}}_{Tp1}}+{{{\vec{N}}}_{1}}+m\cdot \vec{g}=m\cdot {{{\vec{a}}}_{1}}, \\
 & oY:\ {{N}_{1}}-m\cdot g\cdot \cos \alpha =0,\ {{N}_{1}}=m\cdot g\cdot \cos \alpha ,\  \\
 & {{F}_{Tp1}}=\mu \cdot {{N}_{1}},\ {{F}_{Tp1}}=\mu \cdot m\cdot g\cdot \cos \alpha \ \ \ (5),\ {{l}_{1}}=\frac{h}{\sin \alpha }, \\
 & {{A}_{1}}=-\mu \cdot m\cdot g\cdot \cos \alpha \cdot \frac{h}{\sin \alpha },\ {{A}_{1}}=-\mu \cdot m\cdot g\cdot h\cdot ctg\alpha \ \ \ (6). \\
\end{align} \]

Определим работу силы трения на участке ВС. Запишем второй закон Ньютона, найдем проекции на ось Оу, найдем силу трения на участке ВС.

\[ \begin{align}
  & \vec{F}=m\cdot \vec{a},\ {{{\vec{F}}}_{Tp2}}+{{{\vec{N}}}_{2}}+m\cdot \vec{g}=m\cdot {{{\vec{a}}}_{2}}, \\
 & oY:\ {{N}_{2}}-m\cdot g=0,\ {{N}_{2}}=m\cdot g,\ {{F}_{Tp2}}=\mu \cdot {{N}_{2}},\ {{F}_{Tp2}}=\mu \cdot m\cdot g\ \ \ (7),\  \\
 & {{A}_{2}}=-\mu \cdot m\cdot g\cdot {{l}_{2}}\ \ \ (8). \\
\end{align}
 \]

(6) (8 ) и (2) подставим в (1) определим путь l₂ от основания горы пройденный санками до остановки, и определим весь путь пройденный телом.

\[ \begin{align}
  & m\cdot g\cdot h-\mu \cdot m\cdot g\cdot h\cdot ctg\alpha -\mu \cdot m\cdot g\cdot {{l}_{2}}=0,\ \ h-\mu \cdot h\cdot ctg\alpha =\mu \cdot {{l}_{2}},\ {{l}_{2}}=\frac{h-\mu \cdot h\cdot ctg\alpha }{\mu }. \\
 & {{l}_{1}}=\frac{h}{\sin \alpha }.\ {{l}_{1}}=\frac{2\cdot 2}{1}=4,0. \\
 & l1=\frac{2-0,1\cdot 2,0\cdot \sqrt{3}}{0,1}=16,54. \\
 & l={{l}_{1}}+{{l}_{2}}.\ l=4,0+16,54=20,54. \\
\end{align} \]

Ответ: 3) 20,5 м.

[Сергей]

Тест А 2.7. Камень массой m = 5,0 кг упал без начальной скорости с некоторой высоты за время t = 2,0 с. Кинетическая энергия камня в средней точке пути равна:
1) 0,10 кДж; 2) 0,25 кДж; 3) 0,50 кДж; 4) 0,75 кДж; 5) 1,0 кДж.
Решение. Определим высоту с которой упал камень.

\[ h=\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2},\ h=\frac{10\cdot {{2,0}^{2}}}{2}=20. \]

Запишем закон сохранения энергии.

\[ \begin{align}
  & m\cdot g\cdot h=m\cdot g\cdot \frac{1}{2}\cdot h+{{E}_{K}},\ {{E}_{K}}=m\cdot g\cdot h-m\cdot g\cdot \frac{1}{2}\cdot h,\ {{E}_{K}}=m\cdot g\cdot \frac{1}{2}\cdot h. \\
 & {{E}_{K}}=5,0\cdot 10\cdot \frac{1}{2}\cdot 20=500. \\
\end{align} \]

Ответ: 3) 0,5 кДж.

[Сергей]

Тест А 2.8. Тело движется горизонтально. Если модуль изменения импульса тела η = 50,0 % от начального модуля импульса, то отношение модуля изменения его кинетической энергии к начальной кинетической энергии составит:
1) 125 %; 2) 100%; 3) 50,0 %; 4) 25,0%; 5) 10,0 %.
Решение.
Установим связь кинетической энергии и импульса.

\[ \begin{align}
  & {{E}_{K}}=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2},\ p=m\cdot \upsilon ,\ \upsilon =\frac{p}{m},\ {{E}_{K}}=\frac{m\cdot {{p}^{2}}}{2\cdot {{m}^{2}}},\ {{E}_{K}}=\frac{{{p}^{2}}}{2\cdot m}. \\
 & \Delta p={{p}_{2}}-{{p}_{1}},\ 0,5\cdot {{p}_{1}}={{p}_{2}}-{{p}_{1}},\ {{p}_{2}}=1,5\cdot {{p}_{1}}. \\
 & \Delta {{E}_{K}}={{E}_{K2}}-{{E}_{K1}}. \\
 & \frac{\Delta {{E}_{K}}}{{{E}_{K1}}}=\frac{{{E}_{K2}}-{{E}_{K1}}}{{{E}_{K1}}}=\frac{\frac{p_{2}^{2}}{2\cdot m}-\frac{p_{1}^{2}}{2\cdot m}}{\frac{p_{1}^{2}}{2\cdot m}}=\frac{p_{2}^{2}-p_{1}^{2}}{p_{1}^{2}}=\frac{{{(1,5\cdot {{p}_{1}})}^{2}}-p_{1}^{2}}{p_{1}^{2}}=\frac{{{(1,5)}^{2}}-{{1}^{2}}}{{{1}^{2}}}=1,25. \\
\end{align} \]

Ответ 1) 125 %.

[Сергей]

Тест А 2.9. Два шара массами m₁ = 1,0 кг и m₂ = 3,0 кг движутся навстречу друг другу со скоростями, модули которых υ₁ = 4,0 м/с и υ₂ = 8,0 м/с соответственно. Количество теплоты, выделившееся после абсолютно неупругого столкновения шаров, составит:
1) 10 Дж; 2) 18 Дж; 3) 27 Дж; 4) З6 Дж; 5) 54 Дж.
Решение.
Удар, при котором тела движутся после столкновения вместе, с одинаковой скоростью, называется абсолютно неупругим ударом (при этом механическая энергия не сохраняется).
Для решения задачи используем закон сохранения импульса для абсолютно неупругого взаимодействия.

\[ {{m}_{1}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{2}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \vec{\upsilon }. \]

Находим проекции на ось Ох и найдем скорость совместного движения тел.

\[ \begin{align}
  & {{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}-{{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \upsilon . \\
 & \upsilon =\frac{{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}-{{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}}{({{m}_{1}}+{{m}_{2}})},\ \upsilon =\frac{1,0\cdot 4,0-3,0\cdot 8,0}{1,0+3,0}=-5,0. \\
\end{align} \]

При абсолютно неупругом ударе часть энергии тратится на нагревание тел.

\[  \begin{align}
  & \frac{{{m}_{1}}\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2}+\frac{{{m}_{2}}\cdot \upsilon _{2}^{2}}{2}=\frac{({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}+Q,\ Q=\frac{{{m}_{1}}\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2}+\frac{{{m}_{2}}\cdot \upsilon _{2}^{2}}{2}-\frac{({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}. \\
 & Q=\frac{1,0\cdot {{4,0}^{2}}}{2}+\frac{3,0\cdot {{8,0}^{2}}}{2}-\frac{(1,0+3,0)\cdot {{(-5,0)}^{2}}}{2}=8,0+96-50=54. \\
\end{align} \]

Ответ: 5) 54 Дж.

[Сергей]

Тест А 2.10. Два одинаковых шара, один из которых неподвижен, а другой движется с постоянной скоростью, упруго сталкиваются и разлетаются. Угол между векторами скоростей шаров после удара составит:
1) 30°; 2) 45°; 3) 90°; 4)180°;5) 0.
Решение. При абсолютно упругом ударе энергия тел до взаимодействия равна энергии тел после взаимодействия.

\[ \frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}=\frac{m\cdot \upsilon _{2}^{2}}{2}+\frac{m\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2},\ {{\upsilon }^{2}}=\upsilon _{2}^{2}+\upsilon _{1}^{2}\ \ \ (1). \]

Для скоростей тел применима теорема Пифагора. Угол между векторами скоростей шаров после удара составит 90°.
Ответ: 3) 90°.