Решение. Рассмотрим вначале процесс столкновения пули и шара, затем движение шара на нити.
1)
Процесс столкновения пули (масса m
1) и шара (m
2). Воспользуемся законом сохранения импульса для системы шар-пуля (рис. 1):
\[0X:\; \; \; m_{1} \cdot \upsilon _{10} =m_{1} \cdot \upsilon _{1} +m_{2} \cdot \upsilon _{2} .\]
Тогда
\[\upsilon _{2} =\frac{m_{1} \cdot \left(\upsilon _{10} -\upsilon _{1} \right)}{m_{2} } . \; \; \; (1)\]
2)
Процесс движения шара на нити сразу после удара. Будем применять закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту, на которой находится шар в нижнем положении (рис. 2).
Полная механическая энергия шара
в начальном состоянии (с учетом уравнения (1))
\[E_{0} =E_{k0} =\frac{m_{2} \cdot \upsilon _{2}^{2} }{2} =\frac{m_{2} }{2} \cdot \left(\frac{m_{1} \cdot \left(\upsilon _{10} -\upsilon _{1} \right)}{m_{2} } \right)^{2} =\frac{\left(m_{1} \cdot \left(\upsilon _{10} -\upsilon _{1} \right)\right)^{2} }{2m_{2} } .\]
Полная механическая энергия шара
в конечном состоянии (на максимальной высоте)
\[E=E_{p} =m_{2} \cdot g\cdot h.\]
Так как нет внешних сил, то запишем закон сохранения механической энергии и решим полученное уравнение:
\[\frac{\left(m_{1} \cdot \left(\upsilon _{10} -\upsilon _{1} \right)\right)^{2} }{2m_{2} } =m_{2} \cdot g\cdot h,\; \; \; h=\frac{\left(m_{1} \cdot \left(\upsilon _{10} -\upsilon _{1} \right)\right)^{2} }{2m_{2}^{2} \cdot g} .\; \; \; \; (2)\]
3) Найдем угол α отклонения нити от вертикали. Из рисунка 3 видно, что
OA = OC = l, OC = OB + BC, BC = h, OB = OA∙cos α.
Тогда с учетом уравнения (2) получаем:
\[\cos \alpha =\frac{OB}{OA} =\frac{OC-BC}{OA} =\frac{l-h}{l} =1-\frac{h}{l} =1-\frac{\left(m_{1} \cdot \left(\upsilon _{10} -\upsilon _{1} \right)\right)^{2} }{2m_{2}^{2} \cdot g\cdot l} ,\]
cos α = 0,5918, α = 54°.
