Две бесконечные плоскости

[Антон Огурцевич]

На двух бесконечных параллельных плоскостях равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями σ₁ и σ₂ (рис.). Требуется:
1) используя теорему Остроградского—Гаусса и принцип суперпозиции электрических полей, найти выражение E(x) напряженности электрического поля в трех областях: I, II и III. Принять σ₁ = 2σ, σ₂ = σ;
2) вычислить напряженность E поля в точке, расположенной слева от плоскостей, и указать направление вектора E;
3) построить график E(x).
Вторая часть задачи:
Смотрите условие предыдущей задачи.
В пункте 1 принять σ₁= –4σ, σ₂= 2σ.
В пункте 2 принять σ = 40 нКл/м² и точку расположить между плоскостями.

[Виктор]

Решение: применим теорему Остроградского-Гаусса для расчета распределения электрического поля, создаваемого равномерно заряженной с поверхностной плотностью σ, бесконечной плоскостью. Согласно теореме Остроградского-Гаусса поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность пропорционален заряду, заключенному в ней:
\[ \oint _{S}\vec{E}\cdot d\vec{S} =\frac{1}{\varepsilon _{0}} \cdot Q. \]
Для расчета интеграла по поверхности необходимо выбрать удобную поверхность интегрирования. В данном случае, исходя из симметрии задачи, таковой будет являться поверхность в виде цилиндра. Одно основание этого цилиндра поместим справа от плоскости, второе слева от нее. На основаниях цилиндра вектор напряженности электрического поля E будет сонаправлен с вектором dS перпендикулярным к поверхности, и модуль будет постоянным на всех точках оснований. На боковой поверхности цилиндра вектор E будет перпендикулярен вектору нормали к поверхности и скалярное произведение векторов E∙dS на этой поверхности будет равно нулю. Тогда интеграл
\[ \oint _{S}\vec{E}\cdot d\vec{S} =E_{1} \cdot S_{1} +E_{2} \cdot S_{2} =2\cdot E\cdot S=\frac{Q}{\varepsilon _{0}}. \]
здесь учтено, что E₁= E₂ = E, S₁ =  S₂ = S. Таким образом:
\[ E=\frac{Q}{2\cdot \varepsilon _{0} \cdot S} =\frac{\sigma }{2\cdot \varepsilon _{0}}. \]
где поверхностная плотность σ = Q/S. Для положительного значения σ направление напряженности указано на рис.1.
1. Применяя полученный результат, и принцип суперпозиции полей для указанной системы плоскостей в области I получим:
\[ E_{I} =E_{1} +E_{2} =\frac{\sigma _{1}}{2\cdot \varepsilon _{0} } +\frac{\sigma _{2}}{2\cdot \varepsilon _{0}} =-\frac{2\cdot \sigma }{2\cdot \varepsilon _{0}} -\frac{\sigma }{2\cdot \varepsilon _{0}} =-\frac{3\cdot \sigma }{2\cdot \varepsilon _{0}}. \]
Для области II:
\[ E_{II} =E_{1} +E_{2} =\frac{2\cdot \sigma }{2\cdot \varepsilon _{0}} -\frac{\sigma }{2\cdot \varepsilon _{0}} =\frac{\sigma }{2\cdot \varepsilon _{0}}. \]
Для области III:
\[ E_{III} =E_{1} +E_{2} =\frac{2\cdot \sigma }{2\cdot \varepsilon _{0}} +\frac{\sigma }{2\cdot \varepsilon _{0}} =\frac{3\cdot \sigma }{2\cdot \varepsilon _{0}} .\ \]
2. В точках слева от плоскостей (область I) напряженность равна:
\[ E_{I} =-\frac{3\cdot \sigma }{2\cdot \varepsilon _{0}}. \]
Вектор E_I направлен влево (против положительного направления оси x)
3. График напряженности E(x) имеет вид изображенный на рисунке 2:
Вторая часть (см. рис. 3)
1. в области I получим:
\[ E_{I} =\frac{4\cdot \sigma }{2\cdot \varepsilon _{0}} -\frac{2\cdot \sigma }{2\cdot \varepsilon _{0}} =\frac{\sigma }{\varepsilon _{0}}. \]
Для области II:
\[ E_{II} =-\frac{4\cdot \sigma }{2\cdot \varepsilon _{0}} -\frac{2\cdot \sigma }{2\cdot \varepsilon _{0}} =-\frac{3\cdot \sigma }{\varepsilon _{0}}. \]
Для области III:
\[ E_{III} =-\frac{4\cdot \sigma }{2\cdot \varepsilon _{0}} +\frac{2\cdot \sigma }{2\cdot \varepsilon _{0}} =-\frac{\sigma }{\varepsilon _{0}}. \]
2. В точках между плоскостями (область 2) напряженность равна:
\[ E_{II} =-\frac{3\cdot \sigma }{\varepsilon _{0}} =-\frac{3\cdot 40\cdot 10^{-9} }{8,85\cdot 10^{-12}} =13,55\cdot 10^{3}. \]
Вектор E_II направлен влево (против положительного направления оси x)