теорема Остроградского-Гаусса

[Антон Огурцевич]

Бесконечно длинная тонкая нить заряжена однородно с линейной плотностью τ = 20 мкКл/м, а коаксиальная с ней цилиндрическая поверхность радиуса R = 3 см заряжена равномерно с поверхностной плотностью σ = 100 мкКл/м². Используя теорему Остроградского-Гаусса, найти зависимость E(r) напряженности электрического поля от расстояния до нити для областей внутри и вне цилиндра и построить ее график.

[Виктор]

Решение: воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса: поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность пропорционален заряду, заключенному в ней:
\[ \oint _{S}\vec{E}\cdot d\vec{S} =\frac{1}{\varepsilon _{0}} \cdot Q,{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; }E\cdot S=\frac{Q}{\varepsilon _{0}} \cdot \]
Здесь ε₀ = 8,85 ∙ 10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.
Представим вокруг нити и цилиндра коаксиальную замкнутую поверхность (цилиндр в цилиндре) радиуса x и длиной L (L = ∞) (основания цилиндров перпендикулярно оси). Для оснований цилиндров E =0,  для боковой поверхности зависит от расстояния r. Из соображения симметрии следует, что Е в любой точке будет направлена вдоль радиуса, перпендикулярно оси цилиндра. В этом случае площадь цилиндрического контура на расстоянии x от центра и зависимость напряжённости от расстояния
\[ \begin{array}{l} {S={\rm \; }2\pi \cdot x\cdot L,{\rm \; \; \; \; \; \; }E\cdot 2\pi \cdot x\cdot L=\frac{Q}{\varepsilon _{0}} ,} \\ {E=\frac{Q}{2\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot L\cdot x} \cdot } \end{array} \]
Осталось найти заряд Q внутри цилиндра для двух случаев:
1.   0 < x < R, заряд внутри равен заряду на нити длиной L
\[ \begin{array}{l} {Q=\tau \cdot L,} \\ {E_{1} =\frac{\tau }{2\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot x}.} \end{array} \]
2.   x ≥ R, заряд внутри равен заряду на нити длиной L  и заряду цилиндра
\[ \begin{array}{l} {Q=\tau \cdot L+\sigma \cdot 2\pi \cdot R\cdot L,} \\ {E_{2} =\frac{\tau +2\pi \cdot \sigma \cdot R}{2\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot x}.} \end{array} \]
Таким образом, зависимость E(r) напряженности электрического поля от расстояния до нити в общем виде:
\[ E(x)=\left\{\begin{array}{l} {\frac{\tau }{2\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot x} ,{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; \; }x<R;} \\ {\frac{\tau +2\pi \cdot \sigma \cdot R}{2\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot x} ,{\rm \; \; \; \; }x\ge R.} \end{array}\right. \]
После подстановки числовых данных
\[ E(x)=\left\{\begin{array}{l} {\frac{3,6\cdot 10^{5} }{x} ,{\rm \; \; }x<R;} \\ {\frac{7\cdot 10^{5} }{x} ,{\rm \; \; \; \; }x\ge R.} \end{array}\right. \]
График зависимости см. на рисунке