магнитный момент стержня

[Антон Огурцевич]

Заряд Q = 0,1 мкКл равномерно распределен по стержню длиной l = 50 см. Стержень вращается с угловой скоростью ω = 20 рад/с относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину, Найти магнитный момент p_m, обусловленный вращением стержня.

[Виктор]

Решение: выделим на расстоянии r от оси вращения стержня малый элемент шириной dr. Заряд единицы длины стержня τ = Q/l, тогда заряд элемента стержня dq = τ∙dr. Стержень вращается с угловой скоростью ω и делает один оборот за время T = 2π/ω. Таким образом, ток, создаваемый элементом стержня, будет равен
\[ dI=\frac{dq}{T} =\frac{\tau \cdot dr\cdot \omega }{2\pi } =\frac{Q\cdot \omega }{2\pi \cdot l} \cdot dr. \]
Магнитный момент это произведение силы кругового тока I на обтекаемую им площадь S: p_m=I∙S. Таким образом, для тока dI: dp_m=dI∙S_r. Площадь круга радиусом r: S_r = π∙r², тогда
\[ dp_{m} =dI\cdot S_{r} =\frac{Q\cdot \omega }{2\cdot l} \cdot r^{2} \cdot dr. \]
Полный момент равен интегралу по всей длине стержня (см. рис.)
\[ \begin{array}{l} {p_{m} =\int dp_{m}  =\int _{-R}^{R}\frac{Q\cdot \omega }{2\cdot l} \cdot r^{2} \cdot dr =\frac{Q\cdot \omega }{2\cdot l} \cdot \int _{-R}^{R}\cdot r^{2} \cdot dr =\frac{Q\cdot \omega }{2\cdot l} \cdot \frac{R^{3}}{3} \cdot 2,} \\ {p_{m} =\frac{Q\cdot \omega }{l} \cdot \frac{R^{3}}{3} =\frac{Q\cdot \omega }{l} \cdot \frac{l^{3}}{3\cdot 8} =\frac{Q\cdot \omega \cdot l^{2}}{24}.} \end{array} \]
Здесь учли, что радиус вращения R = l/2.
Ответ: 2,08∙10^-8 А∙м².