Во сколько раз время спуска камня больше времени подъема?

[Антон Огурцевич]

Ледяная гора составляет с горизонтом угол 15°. По ней пускают снизу вверх камень, который поднявшись на некоторую высоту, затем соскальзывает вниз по тому же пути. Во сколько раз время спуска камня больше времени подъема, если коэффициент трения камня о лед равен 0,15.

[Сергей]

Решение. Будем считать, что тело  движется равноускорено из состояния покоя. Время определим из уравнений кинематики. Учтем, что υ₀ = 0.
\[ \begin{align}
  & s={{\upsilon }_{0}}\cdot t+\frac{a\cdot {{t}^{2}}}{2}; \\
 & t=\sqrt{\frac{2\cdot s}{a}} \\
\end{align} \]

Рассмотрим движение снизу вверх

Для нахождения ускорения запишем второй закон Ньютона для данного тела
\[ m{{\vec{a}}_{1}}=m\vec{g}+\vec{N}+{{\vec{F}}_{tr}} \]
Выберем оси OX и OY как показано на рисунке и найдем проекции сил на эти оси.

OX: m·a₁ = m·g·sinα + F_tr;
OY: 0 = m·g·cosα + N;
F_tr = μ·N = μ·m·g·cosα

Отсюда ускорение тела

a₁ = g·(sinα + μ·cosα)

Тогда время движения вверх
\[ {{t}_{1}}=\sqrt{\frac{2\cdot s}{g\cdot \left( \sin \alpha +\mu \cdot \cos \alpha  \right)}} \]

Рассмотрим движение вниз

OX: m·a₂ = m·g·sinα – F_tr;
OY: 0 = m·g·cosα + N;
F_tr = μ·N = μ·m·g·cosα
a₂ = g·(sinα - μ· cosα)

\[ {{t}_{2}}=\sqrt{\frac{2\cdot s}{g\cdot \left( \sin \alpha -\mu \cdot \cos \alpha  \right)}} \]
\[ \frac{{{t}_{2}}}{{{t}_{1}}}=\sqrt{\frac{\left( \sin \alpha +\mu \cdot \cos \alpha  \right)}{\left( \sin \alpha -\mu \cdot \cos \alpha  \right)}} \]