Решение: ёмкость сферы и соответственно заряд её равны
\[ \begin{array}{l} {C=4\cdot \pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot R,} \\ {q=C\cdot \varphi =4\cdot \pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot R\cdot \varphi.} \end{array} \]
Здесь R – радиус сферы, q – её заряд, φ – потенциал, ε = 1 – диэлектрическая проницаемость воздуха, ε0 = 1/(4π∙9∙109) Ф/м – электрическая постоянная. Зная заряд q = 6 мКл и потенциал φ = 3 В первой меньшей сферы, определим её радиус:
\[ R=\frac{q}{4\cdot \pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot \varphi}. \]
Радиус второй сферы в 2 раза больше. После соединения проводником заряд на сферах распределится так, что потенциал φ0 их будет одинаков. Пусть q1 – заряд первой меньшей сферы после соединения, q2 – второй сферы. Запишем закон сохранения заряда, и выразим оттуда потенциал φ0:
\[ \begin{array}{l} {q+q=q_{1} +q_{2},} \\ {2\cdot q=4\cdot \pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot R\cdot \varphi _{0} +4\cdot \pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot 2R\cdot \varphi _{0} =3R\cdot 4\cdot \pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot \varphi _{0},} \\ {2\cdot q=3\cdot \frac{q}{4\cdot \pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot \varphi } \cdot 4\cdot \pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot \varphi _{0} ,{\rm \; \; \; \; }2=\frac{3\cdot \varphi _{0} }{\phi },} \\ {\varphi _{0} =\frac{2\cdot \varphi }{3}.} \end{array} \]
Таким образом, заряды сфер после соединения равны соответственно
\[ \begin{array}{l} {q_{1} =4\cdot \pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot R\cdot \varphi _{0} =4\cdot \pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot \frac{q}{4\cdot \pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot \varphi } \cdot \frac{2\cdot \varphi }{3} =\frac{2}{3} \cdot q,} \\ {q_{2} =4\cdot \pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot 2R\cdot \varphi _{0} =4\cdot \pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot \frac{2\cdot q}{4\cdot \pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot \varphi } \cdot \frac{2\cdot \varphi }{3} =\frac{4}{3} \cdot q.} \end{array} \]
Ответ: 2 В, 4 мКл, 8 мКл.
