Чему равен потенциал в центре сферы?

[Антон Огурцевич]

Внутри шарового металлического слоя, внутренний и внешний радиусы которого соответственно равны 2R и 3R, на расстоянии R от центра находится положительный точечный заряд q. Чему равен потенциал в центре сферы?

[Виктор]

Решение: ввиду электростатической индукции на внутренней по-верхности слоя появится заряд (-q), а на его внешней поверхности +q. Таким образом, потенциал в центре сферического слоя складывается из трех вкладов: от заряда равномерно +q,  распределенного по внешней поверхности слоя с радиусом R₂, от заряда (-q) , распределенного неравномерно по внутренней поверхности слоя с радиусом R₁, и от заряда q, расположенного от центра на расстоянии r. Так как все индуцированные заряды на внутренней поверхности расположены от центра на одинаковом расстоянии R₁ то их вклад в потенциал будет
\[ -k\cdot \frac{q}{R_{1}}. \]
Вклад от зарядов на внешней поверхности будет равен
\[ k\cdot \frac{q}{R_{2}}. \]
Вклад точечного заряда в общий потенциал
\[ k\cdot \frac{q}{r}. \]
В итоге потенциал в центре будет равен
\[ \varphi =k\cdot q\cdot \left(\frac{1}{R_{2} } -\frac{1}{R_{1} } +\frac{1}{r} \right). \]
Так как R₁ = 2R, R₂ = 3R, r = R, то
\[ \varphi =k\cdot q\cdot \left(\frac{1}{3R} -\frac{1}{2R} +\frac{1}{R} \right)=\frac{5k\cdot q}{6R}. \]