Решение. На ареометр, плавающий в воде действуют две силы: сила тяжести и сила Архимеда:
\[ m\cdot \vec{g}+{{\vec{F}}_{A}}=0. \]Найдем проекции на ось
Y:
\[ {{F}_{A}}-m\cdot g=0,\ m\cdot g=\rho \cdot g\cdot S\cdot h\ \ \ (1). \]
Ареометр погрузили в воду, и отпустили. Ареометр начинает двигаться с ускорением, покажем силы:
\[ m\cdot \vec{g}+{{\vec{F}}_{A}}=m\cdot \vec{a}. \]
Найдем проекции на ось
Y:
\[ {{F}_{A}}-m\cdot g=m\cdot a,\ \rho \cdot g\cdot S\cdot (h+x)-m\cdot g=m\cdot a\ \ \ (2). \]
Подставим (1) в (2) и упростим выражение:
\[ \rho \cdot g\cdot S\cdot x=m\cdot a\ \ \ (3). \]
Учитываем, что:
\[ S=\frac{\pi \cdot {{d}^{2}}}{4}\ \ \ (4),\ a={{\omega }^{2}}\cdot x=\frac{4\cdot {{\pi }^{2}}\cdot x}{{{T}^{2}}}\ \ \ \ (5). \]
Подставим (5) и (4) в (3) и выразим
Т (плотность воды ρ = 1000 кг/м
3):
\[ T=\sqrt{\frac{16\cdot m}{\rho \cdot g\cdot {{d}^{2}}}}. \]
Т = 5 с.
Ответ: 5 с.
