Чему равно среднее ускорение тела?

[Антон Огурцевич]

Зависимость пройденного пути от времени некоторого тела задается уравнением : S=At+Bt²+Ct³ +Dt³. Через какое время, после начала движения, ускорение тела будет равно 1 м/c² ? Чему равно среднее ускорение тела за этот промежуток времени, если  С =0 м/c²  , D=0,2 м/c³?

[Виктор]

Скорее всего в условии опечатка. Уравнение зависимости пройденного пути от времени некоторого тела должно иметь вид:
S = A + B∙t + C∙t² + D∙t³.
(об этом говорит коэффициент C = 0 м/с²)
таким образом решение задачи следующее

[Виктор]

Решение:  мгновенная скорость  и ускорение тела соответственно:
\[ \begin{align}
  & \upsilon =\frac{dS}{dt},\text{        }a=\frac{d\upsilon }{dt}=\frac{{{\partial }^{2}}S}{\partial {{t}^{2}}}, \\
 & \upsilon =\frac{d(A+B\cdot t+C\cdot {{t}^{2}}+D\cdot {{t}^{3}})}{dt}=B+2C\cdot t+3D\cdot {{t}^{2}}, \\
 & a=\frac{d\left( B+2C\cdot t+3D\cdot {{t}^{2}} \right)}{dt}=2C+6D\cdot t. \\
\end{align} \]
Таким образом, искомое время, когда ускорение a = 1 м/с² будет равно:
\[ t=\frac{a-2C}{6D}. \]
t = 0,83 c (по данным задачи если  С = 0 м/c², D = 0,2 м/c³).
Среднее ускорение равно изменению скорости Δυ = υ₂ – υ1, ко времени, за которое скорость изменилась Δt = t₂ - t₁. Здесь t₂ = t = 0,83 с, t₁ = 0. Таким образом, для среднего ускорения получим
\[ \begin{align}
  & {{\upsilon }_{2}}=B+2C\cdot {{t}_{2}}+3D\cdot t_{2}^{2},\text{       }{{\upsilon }_{1}}=B+2C\cdot {{t}_{1}}+3D\cdot t_{1}^{2}, \\
 & \bar{a}=\frac{{{\upsilon }_{2}}-{{\upsilon }_{1}}}{{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}=\frac{\left( B+2C\cdot {{t}_{2}}+3D\cdot t_{2}^{2} \right)-\left( B+2C\cdot {{t}_{1}}+3D\cdot t_{1}^{2} \right)}{\left( {{t}_{2}}-{{t}_{1}} \right)}, \\
 & \bar{a}=\frac{2C\cdot \left( {{t}_{2}}-{{t}_{1}} \right)+3D\cdot \left( t_{2}^{2}-t_{1}^{2} \right)}{\left( {{t}_{2}}-{{t}_{1}} \right)}=2C+3D\cdot \left( {{t}_{2}}+{{t}_{1}} \right). \\
\end{align} \]
Таким образом среднее ускорение тела равно 0,5 м/с².