При какой кинетической энергии?

[Антон Огурцевич]

Определить, при какой кинетической энергии длина волны де-Бройля для электрона равна его комптоновской длине волны.

[Сергей]

Решение.
Длина волны де Бройля для релятивистской частицы определяется по формуле:

\[ {{\lambda }_{B}}=\frac{h}{{{m}_{0}}\cdot \upsilon }\cdot \sqrt{1-\frac{{{\upsilon }^{2}}}{{{c}^{2}}}}\ \ \ (1). \]

Где: h = 6,62∙10^-34 Дж∙с – постоянная Планка, m = 9,1∙10^-31 кг – масса электрона, с = 3∙10⁸ м/с – скорость света.
Формула комптоновской длины волны получается из формулы де-бройлевской длины волны путём замены скорости частицы υ на скорость света c:

\[ {{\lambda }_{K}}=\frac{h}{{{m}_{0}}\cdot c}\ \ \ (2). \]

По условию задачи длина волны де-Бройля для электрона равна его комптоновской длине волны, приравняем (1) и (2) выразим квадрат скорости.

\[ {{\upsilon }^{2}}=\frac{{{c}^{2}}}{2}\ \ \ (3). \]

Кинетическую энергию длины волны де-Бройля для электрона определим по формуле:

\[ {{E}_{K}}=\frac{{{m}_{0}}\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}=\frac{{{m}_{0}}\cdot {{c}^{2}}}{4}. \]

Е_К = 20,475∙10^-15 Дж.
Ответ: 20,475∙10^-15 Дж.