Маятник Фуко

[Антон Огурцевич]

Маятник Фуко имеет длину l = 50 м и представляет собой железный шар диаметром d = 20 см. Амплитуда колебания  A = 2 м. Определить кинетическую, потенциальную и полную энергию маятника при фазе φ = 5∙π/8 и соответствующий этому условию момент времени t, считая начало отсчёта времени в середине траекторий качаний. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение. Маятник Фуко считаем математическим. Период колебаний маятника определяется по формуле:

\[ T=2\cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}\ \ \ (1). \]

Определим период:
Т = 14 с.
Запишем уравнение колебаний, начало отсчёта времени принято в середине траектории колебаний, используем функцию sin:

\[ x=A\cdot \sin \frac{2\cdot \pi }{T}\cdot t\ \ \ (2). \]

По условию задачи известна фаза колебаний, определим время:

\[ \frac{2\cdot \pi }{T}\cdot t=\frac{5\cdot \pi }{8}\ . \]

t = 4,375 с.
Для нахождения скорости возьмем первую производную по времени от х:

\[ \upsilon =-\frac{2\cdot \pi }{T}\cdot A\cdot \cos \frac{2\cdot \pi }{T}\cdot t,\ \upsilon =-\frac{2\cdot \pi }{7}\cdot \cos \frac{\pi }{7}\cdot t,\ {{\upsilon }_{\max }}=\frac{2\cdot \pi }{7}. \]

Найдем скорость за время t:
υ = 0,628 м/с, υ_mах = 0,897 м/с.
Определим кинетическую энергию за время t:

\[ {{E}_{Kt}}=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2},\ m=\frac{1}{6}\cdot \pi \cdot {{d}^{3}}\cdot \rho \ ,\ {{E}_{Kt}}=\frac{\pi \cdot {{d}^{3}}\cdot \rho \cdot {{\upsilon }^{2}}}{12}\ \ (2). \]

m – масса шара, ρ – плотность железа, ρ = 7800 кг/м³.
Е_Кt = 6,44 Дж.
Определим полную энергию:

\[ E=\frac{m\cdot \upsilon _{\max }^{2}}{2},\ E=\frac{\pi \cdot {{d}^{3}}\cdot \rho \cdot \upsilon _{\max }^{2}}{12}. \]

Е = 13,1 Дж.
Определим потенциальную энергию за время t:

Е_Пt = Е – Е_Кt.

Е_Пt = 6,7 Дж.
Ответ: 6,44 Дж, 13,1 Дж, 6,7 Дж. 4,375 с.