Какой наименьший радиус должна иметь пластинка?

[Антон Огурцевич]

На дне сосуда, наполненного бензолом до высоты 20 см, помещен точечный источник света. На поверхности жидкости плавает круглая непрозрачная пластинка так, что ее центр находится над источником света. Какой наименьший радиус должна иметь пластинка, чтобы ни один луч не мог выйти из бензола? Показатель преломления бензола 1,501.

[Виктор]

Решение: лучи света от источника не будут выходить в воздух, если будут упираться в непрозрачную пластинку и, если, они падают на границу раздела «жидкость-воздух» под углом равным или большим предельного угла полного отражения α₀. Предельный угол полного отражения определяется из формулы
\[ \sin \alpha _{0} =\frac{n_{2}}{n_{1}} =\frac{1}{n}. \]
Здесь n₂ = 1 – показатель преломления воздуха, n₁ = n = 1,501 – показатель преломления бензола. Пусть луч падает на самый край диска под предельным углом. Как видно из рисунка, тангенс предельного угла:
\[ \begin{array}{l} {tg\alpha _{0} =\frac{R}{h},} \\ {R=h\cdot tg\alpha _{0} .} \end{array} \]
Воспользуемся связью синуса и тангенса
\[ \begin{array}{l} {1+ctg^{2} \alpha _{0} =\frac{1}{\sin ^{2} \alpha _{0}} ,{\rm \; \; \; \; \; }1+\frac{1}{tg^{2} \alpha _{0} } =\frac{1}{\sin ^{2} \alpha _{0}} =n^{2} ,} \\ {\frac{1}{tg^{2} \alpha _{0} } =n^{2} -1,{\rm \; \; \; \; }tg^{2} \alpha _{0} =\frac{1}{n^{2}-1}.} \end{array} \]
Таким образом, искомый радиус
\[ R=\frac{h}{\sqrt{n^{2}-1}}. \]
Ответ: 17,86 см.