Найти токи и напряжение

[Антон Огурцевич]

Используя законы Кирхгофа, рассчитайте электрическую цепь на рисунке 3.
Исходные данные для расчёта: E₁ = 10 В, E₂= 4 В, R₁= 2 Ом, R₂ = 5 Ом, R₃ = 2 Ом.
Результаты расчёта для токов I₁, I₂, I₃ и напряжения U = U_cd. Найти токи и напряжение.
Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Напряжение на участке сd определим используя закон Ома для участка цепи:

U_сd = I₃∙R₃   (1).

Для цепи применим правила Кирхгофа:
Первое правило – сумма токов, подходящих к узлу, равна сумме токов, выходящих из узла.
Второе правило – в любом замкнутом контуре сложной цепи сумма действующих ЭДС равна сумме падений напряжения на сопротивлениях этого контура.
Составим уравнения (рис).

I₂ + I₁ = I₃   (2).

ξ₂ = I₃∙R₃ + I₂∙R₂   (3).

ξ₁ = I₃∙R₃ + I₁∙R₁   (4).

Из (4) выразим I₁, из (3) выразим I₂, подставим I₁ и I₂ в (2) выразим I₃:

\[ {{I}_{1}}=\frac{{{\xi }_{1}}-{{R}_{3}}\cdot {{I}_{3}}}{{{R}_{1}}},\ {{I}_{2}}=\frac{{{\xi }_{2}}-{{R}_{3}}\cdot {{I}_{3}}}{{{R}_{2}}},\ {{I}_{3}}=\frac{{{\xi }_{1}}-{{R}_{3}}\cdot {{I}_{3}}}{{{R}_{1}}}+\frac{{{\xi }_{2}}-{{R}_{3}}\cdot {{I}_{3}}}{{{R}_{2}}}\ \ \ (5) \]

Решим уравнение (5) и найдем ток I₃:

\[ {{I}_{3}}=\frac{{{\xi }_{1}}\cdot {{R}_{2}}+{{\xi }_{2}}\cdot {{R}_{1}}}{{{R}_{2}}\cdot {{R}_{3}}+{{R}_{1}}\cdot {{R}_{3}}+{{R}_{1}}\cdot {{R}_{2}}}, \]

I₃ = 2,427 А.
Найдем ток I₁ и I₂,
 I₂ = -0,17 А, I₁ = 2,583 А.
Направление тока I₂ противоположно выбранному на рисунке.
Напряжение на участке сd определим по формуле (1).
U_сd = 4,854 В.
Ответ: 2,427 А, 0,17 А, 2,583 А, 4,854 В.