Какова масса платформы?

[Антон Огурцевич]

Платформа-диск с человеком массой m = 70 кг на её краю вращается с частотой n₁ = 14 мин^-1. При перемещении человека в центр платформы частота её вращения становится равной n₂ = 25 мин^-1. Какова масса платформы? Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Запишем закон сохранения момента импульса:

L₁ = L₂   (1), J₁∙ω₁ = J₂∙ω₂   (2), ω₁ = 2∙π∙n₁   (3), ω₂ = 2∙π∙n₂   (4).

J₁ – момент инерции диска, вместе с человеком на ее краю, J₂ – момент инерции диска, относительно оси колебаний (теорема Штейнера):

\[ {{J}_{1}}={{J}_{0}}+m\cdot {{R}^{2}},\ {{J}_{0}}=\frac{{{m}_{1}}\cdot {{R}^{2}}}{2}\ ,\ {{J}_{1}}=\frac{{{m}_{1}}\cdot {{R}^{2}}}{2}+m\cdot {{R}^{2}}\ \ \ (5),\ \ {{J}_{2}}=\frac{{{m}_{1}}\cdot {{R}^{2}}}{2}(6). \]

Подставим (6) (5) (4) и (3) в (2) выразим массу диска,

\[ (\frac{{{m}_{1}}\cdot {{R}^{2}}}{2}+m\cdot {{R}^{2}})\cdot 2\cdot \pi \cdot {{n}_{1}}=\frac{{{m}_{1}}\cdot {{R}^{2}}}{2}\cdot 2\cdot \pi \cdot {{n}_{2}},\ {{m}_{1}}=\frac{2\cdot m\cdot {{n}_{1}}}{{{n}_{2}}-{{n}_{1}}}. \]

m₁ = 178,2 кг.
Ответ: 178,2 кг.