Как в дальнейшем будет двигаться лодка?

[Антон Огурцевич]

На моторной лодке, двигающейся против течения реки со скоростью υ₀ относительно берега, неожиданно заглох двигатель. Как в дальнейшем будет двигаться лодка, если сила сопротивления воды F_c = β∙υ_отн (υ_отн – скорость лодки относительно воды)? Скорость течения всюду постоянна и равна υ₁. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Лодка движется против течения, определим скорость лодки относительно воды:
 

υ_отн = υ₀ + υ₁   (1).

Когда заглох двигатель скорость лодки относительно воды будет уменьшаться:

υ_отн = υ_t + υ₁   (2).

υ_t - скорости лодки относительно берега когда заглох двигатель.
Лодка будет двигаться с переменным ускорением, используем второй закон Ньютона:

\[ \begin{align}
  & \vec{F}=m\cdot \vec{a},\ -\beta \cdot ({{\upsilon }_{t}}+{{\upsilon }_{1}})=-m\cdot \frac{d\upsilon }{dt}, \\
 & \frac{d\upsilon }{\beta \cdot ({{\upsilon }_{t}}+{{\upsilon }_{1}})}=\frac{dt}{m},\ \int\limits_{0}^{{{\upsilon }_{0}}}{\frac{d\upsilon }{\beta \cdot ({{\upsilon }_{t}}+{{\upsilon }_{1}})}}=\int\limits_{0}^{t}{\frac{dt}{m}}. \\
 & \frac{1}{\beta }\cdot (\ln \beta \cdot ({{\upsilon }_{0}}+{{\upsilon }_{1}})-\ln \beta \cdot {{\upsilon }_{1}})=\frac{t}{m}. \\
\end{align} \]

\[ \frac{{{\upsilon }_{0}}}{{{\upsilon }_{1}}}+1={{e}^{\frac{t\cdot \beta }{m}}}. \]