Релятивистское сокращение длины стержня

[Антон Огурцевич]

Предположим, что мы можем измерить длину стержня с точностью Δl=0,1 мкм. При какой относительной скорости двух инерциальных систем отсчёта можно было бы обнаружить релятивистское сокращение длины стержня, собственная длина которого равна одному метру.

[Виктор]

Решение: эффект сокращения длины
\[ l=\frac{l_{0} }{\gamma }, \]
здесь l₀ = 1 м, l – длина стержня в системе отсчёта, относительно которой стержень движется со скоростью υ, γ – релятивистский коэффициент, который равен
\[ \gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{\upsilon }{c} \right)^{2}}}. \]
Таким образом
\[ \begin{array}{l} {\Delta l=l_{0} -l=l_{0} -\frac{l_{0} }{\gamma } =l_{0} \cdot \left(1-\sqrt{1-\left(\frac{\upsilon }{c} \right)^{2} } \right),} \\ {\sqrt{1-\left(\frac{\upsilon }{c} \right)^{2} } =1-\frac{\Delta l}{l_{0} } ,{\rm \; \; \; \; \; \; }1-\left(\frac{\upsilon }{c} \right)^{2} =\left(1-\frac{\Delta l}{l_{0} } \right)^{2} ,} \\ {\upsilon =c\cdot \sqrt{1-\left(1-\frac{\Delta l}{l_{0} } \right)^{2}}.} \end{array} \]
Ответ: υ = 0,00045c = 1,34∙10⁵ м/с.