В ходе некоторого процесса давление и объем газа

[Verstom]

В ходе некоторого процесса давление и объем газа изменяются таким образом, что р∙V³ = const. Во сколько раз уменьшиться внутренняя энергия и идеального одноатомного газа при увеличении объема V вдвое? Масса газа постоянна

[Сергей]

Решение.
По условию задачи известно:

р∙V³ = α, р₁∙V³₁ = α   (1), р₂∙V³₂ = α   (2), V₂ = 2∙V₁   (3).

(3) подставим в (2) и сравним левые части (1) и (2):

р₁∙V³₁ = р₂∙V³₂, р1∙V³₁ = р₂∙8∙V³₁, р₁ = 8∙р₂   (4).

Внутренняя энергия идеального одноатомного газа определяется по формуле:

\[ U=\frac{3}{2}\cdot p\cdot V\ \ \ (5). \]

Определим во сколько раз уменьшиться внутренняя энергия идеального одноатомного газа:

\[ \frac{{{U}_{1}}}{{{U}_{2}}}=\frac{\frac{3}{2}\cdot {{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}}{\frac{3}{2}\cdot {{p}_{2}}\cdot {{V}_{2}}}=\frac{\frac{3}{2}\cdot 8\cdot {{p}_{2}}\cdot {{V}_{1}}}{\frac{3}{2}\cdot {{p}_{2}}\cdot 2\cdot {{V}_{1}}}=4. \]

[Сергей]

2) Решение задачи с использованием уравнения Клапейрона - Менделеева. Внутренняя энергия определяется по формуле:

\[ \begin{align}
  & U=\frac{3}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot T\ \ \ (1). \\
 & p\cdot {{V}^{3}}=\alpha ,\ p=\frac{\alpha }{{{V}^{3}}},\ {{p}_{1}}=\frac{\alpha }{{{V}_{1}}^{3}}\ \ \ (2),\ {{p}_{2}}=\frac{\alpha }{{{V}_{2}}^{3}}\ \ \ (3). \\
 & {{V}_{2}}=2\cdot {{V}_{1}}\ \ \ (4). \\
\end{align} \]

Используем уравнение Клапейрона –Мендклкева:

\[ \begin{align}
  & p\cdot V=\nu \cdot R\cdot T,\ {{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}=\nu \cdot R\cdot {{T}_{1}},\ \frac{\alpha }{V_{1}^{3}}\cdot {{V}_{1}}=\nu \cdot R\cdot {{T}_{1}},\ \ \frac{\alpha }{V_{1}^{2}}=\nu \cdot R\cdot {{T}_{1}}, \\
 & {{p}_{2}}\cdot {{V}_{2}}=\nu \cdot R\cdot {{T}_{2}},\ \frac{\alpha }{V_{2}^{3}}\cdot {{V}_{2}}=\nu \cdot R\cdot {{T}_{2}},\ \ \frac{\alpha }{V_{2}^{2}}=\nu \cdot R\cdot {{T}_{2}}. \\
\end{align} \]

Определим во сколько раз уменьшиться внутренняя энергия идеального одноатомного газа:

\[ \frac{{{U}_{1}}}{{{U}_{2}}}=\frac{\frac{3}{2}\cdot \frac{\alpha }{V_{1}^{2}}}{\frac{3}{2}\cdot \frac{\alpha }{V_{2}^{2}}}=\frac{\frac{3}{2}\cdot \frac{\alpha }{V_{1}^{2}}}{\frac{3}{2}\cdot \frac{\alpha }{4\cdot V_{1}^{2}}}=4. \]