Объём воздушного шара

[Антон Огурцевич]

Объём воздушного шара равен V = 224 м³, масса оболочки М_о = 145 кг. Шар наполнен горячим воздухом. В нижней части оболочки имеется отверстие, через которое воздух в шаре сообщается с атмосферой. Температура воздуха вне оболочки t₀ = 0 градусов Цельсия, атмосферное давление p₀ = 1,013∙10⁵ Па. При какой минимальной температуре воздуха внутри оболочки шар начинает подниматься? Молярную массу воздуха принять равной М = 29∙10^-3 кг/моль.

[Сергей]

Решение.
Шар начнет подниматься если сила тяжести уравновесится силой Архимеда.

\[ {{F}_{T}}={{F}_{A}}\ \ \ (1),\ {{F}_{T}}=({{M}_{o}}+m)\cdot g\ \ \ (2),\ {{F}_{A}}=\rho \cdot g\cdot V\ \ \ (3). \]

m – масса горячего воздуха внутри шара.
Определим массу горячего воздуха используя уравнение Клапейрона – Менделеева:

\[ {{p}_{0}}\cdot V=\frac{m}{M}\cdot R\cdot T,\ m=\frac{{{p}_{0}}\cdot V\cdot M}{R\cdot T}\ \ \ (4). \]

Плотность наружного воздуха определим используя уравнение Клапейрона – Менделеева:

\[ {{p}_{0}}\cdot {{V}_{1}}=\frac{{{m}_{1}}}{M}\cdot R\cdot T,\ {{p}_{0}}=\frac{{{m}_{1}}}{M\cdot {{V}_{1}}}\cdot R\cdot T,\ \rho =\frac{{{m}_{1}}}{{{V}_{1}}},\ \rho =\frac{{{p}_{0}}\cdot M}{R\cdot {{T}_{0}}}\ \ \ (5). \]

Т₀ = 273 К.
Подставим (5) (4) (3) (2) в (1) выразим температуру горячего воздуха:

\[ \begin{align}
  & {{M}_{0}}\cdot g+m\cdot g=\rho \cdot g\cdot V,\ {{M}_{0}}+\frac{{{p}_{0}}\cdot M\cdot V}{R\cdot T}=\frac{{{p}_{0}}\cdot M\cdot V}{R\cdot {{T}_{0}}}, \\
 & T=\frac{{{p}_{0}}\cdot M\cdot V}{R\cdot (\frac{{{p}_{0}}\cdot M\cdot V}{R\cdot {{T}_{0}}}-{{M}_{0}})},T=\frac{{{p}_{0}}\cdot M\cdot V}{\frac{{{p}_{0}}\cdot M\cdot V}{{{T}_{0}}}-R\cdot {{M}_{0}}}. \\
\end{align} \]

Т = 546,11 К. t = 273,11 ⁰С.