До какой температуры нужно нагреть кислород?

[Антон Огурцевич]

До какой температуры нужно нагреть кислород массой m = 4 кг при постоянном объёме, чтобы уменьшить его энтропию на ∆S = 1,31 кДж/К? Начальная температура кислорода равна t₁ = 227 градусов Цельсия.

[Сергей]

Энтропия – это такая функция состояния системы, бесконечно малое изменение которой в обратимом процессе равно отношению бесконечно малого количества теплоты, введенного в этом процессе, к температуре, при которой оно вводилось.
В конечном обратимом процессе изменения энтропии может быть подсчитано по формуле:

\[ \Delta S={{S}_{2}}-{{S}_{1}}=\int\limits_{1}^{2}{\frac{dQ}{T}\ \ \ (1).} \]

При изохорном процессе: V = соnst, А = 0.

\[ \Delta S=\int\limits_{{{T}_{1}}}^{{{T}_{2}}}{\frac{dU}{T}}=\int\limits_{{{T}_{1}}}^{{{T}_{2}}}{\frac{m}{M}\cdot {{C}_{V}}\frac{dT}{T}}=\frac{m}{M}\cdot {{C}_{V}}\cdot \ln \frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}\ \ \ (2). \]

M – молярная масса газа, R = 8,31 Дж/(моль∙К) – универсальная газовая постоянная. Число степеней свободы двухатомного газа i = 5. Теплоёмкость при постоянном объёме:

\[ {{C}_{v}}=\frac{i\cdot R}{2}\ \ \ (3). \]

Подставим (3) в (2) выразим Т₂:

\[ \begin{align}
  & \Delta S=\frac{m}{M}\cdot \frac{5\cdot R}{2}\cdot \ln \frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}\ ,\ \frac{\Delta S\cdot M\cdot 2}{m\cdot 5\cdot R}=\ln \frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}, \\
 & {{e}^{\frac{\Delta S\cdot M\cdot 2}{m\cdot 5\cdot R}}}=\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}},\ {{T}_{2}}={{T}_{1}}\cdot {{e}^{\frac{\Delta S\cdot M\cdot 2}{m\cdot 5\cdot R}}}. \\
\end{align} \]

Т₁ = (273 + 227) К = 500 К.
Т₂ = 821,6 К.
Ответ: 821,6 К.