Груз, подвешенный на нити

[Антон Огурцевич]

Груз, подвешенный на нити длиной l = 1,0 м отклонили отклонили на угол α = 60 градусов и отпустили. Какой угол φ будет составлять нить с вертикалью в тот момент, когда тангенциальное ускорение груза станет равным нормальному? Чему равны скорость и полное ускорение в этот момент? Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Покажем рисунок. По условию задачи тангенциальное ускорение груза равно нормальному ускорению, определим угол φ:

\[ tg\varphi =\frac{{{a}_{\tau }}}{{{a}_{n}}},\ tg\varphi =1,\ \varphi ={{45}^{0}}. \]

Для определения скорости запишем закон сохранения энергии:

\[ \begin{align}
  & m\cdot g\cdot H=m\cdot g\cdot h+\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}\ \ \ (1), \\
 & \frac{l-H}{l}=\cos \alpha ,\ H=l\cdot (1-\cos \alpha )\ \ \ (2), \\
 & \frac{l-h}{l}=\cos \varphi ,\ h=l\cdot (1-\cos \varphi )\ \ \ (3). \\
\end{align} \]

Подставим (3) и (2) в (1) выразим скорость:

\[ \begin{align}
  & g\cdot l\cdot (1-\cos \alpha )-g\cdot l\cdot (1-\cos \varphi )=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{2}, \\
 & {{\upsilon }^{2}}=2\cdot g\cdot l\cdot (\cos \varphi -\cos \alpha )\ \ \ (4), \\
 & \upsilon =\sqrt{2\cdot g\cdot l\cdot (\cos \varphi -\cos \alpha )}\ \ \ (5). \\
\end{align} \]

υ = 2,0 м/с.
Нормальное ускорение и тангенциальное определим по формуле:

\[ {{a}_{\tau }}={{a}_{n}}=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{l}\ \ \ \ (6). \]

а_τ = а_n = 2,0 м/с².
Полное ускорение определим по формуле:

\[ a=\sqrt{a_{n}^{2}+a_{\tau }^{2}}\ \ \ (7). \]

а = 2,82 м/с².
Ответ: φ = 450, υ = 2,0 м/с, а = 2,85 м/с².