Решение.
Перерисуем данный процесс в координатах р-V. Запишем формулу для определения КПД цикла:
\[ \eta =\frac{{{Q}_{1}}-\left| {{Q}_{2}} \right|}{{{Q}_{1}}}\ ,\ \eta =1-\frac{\left| {{Q}_{2}} \right|}{{{Q}_{1}}}\ \ (1). \]
1→2 изобарное нагревание, на этом участке газ получает количество теплоты
Q1.
2→3 адиабатное расширение,
Q = 0.
3→4 изобарное охлаждение на этом участке газ отдает количество теплоты
Q2.
4→1 адиабатное сжатие,
Q = 0.
При изобарном процессе для идеального газа справедливо условие
\[ :\begin{align}
& Q=\frac{5}{2}\cdot A,\ {{Q}_{1}}=\frac{5}{2}\cdot {{p}_{2}}\cdot ({{V}_{2}}-{{V}_{1}})\ \ \ \ (2). \\
& {{Q}_{2}}=\frac{5}{2}\cdot {{p}_{1}}\cdot ({{V}_{4}}-{{V}_{3}})\ \ \ \ (3). \\
\end{align} \]
Запишем уравнение адиабаты:
р∙Vγ = соnst (3).
Применим уравнение адиабаты для участка 4→1 и 2→3
\[ .\begin{align}
& {{p}_{2}}\cdot V_{1}^{\gamma }={{p}_{1}}\cdot V_{4}^{\gamma },\ {{V}_{1}}={{V}_{4}}\cdot \sqrt[\gamma ]{\frac{{{p}_{1}}}{{{p}_{2}}}}\ \ \ \ (4), \\
& {{p}_{2}}\cdot V_{2}^{\gamma }={{p}_{1}}\cdot V_{3}^{\gamma },\ {{V}_{2}}={{V}_{3}}\cdot \sqrt[\gamma ]{\frac{{{p}_{1}}}{{{p}_{2}}}}\ \ \ \ (5), \\
\end{align} \]
Подставим (5) и (4) в (3) и (2) а (3) и (2) в (1):
\[ \begin{align}
& \eta =1-\frac{\left| \frac{5}{2}\cdot {{p}_{1}}\cdot ({{V}_{4}}-{{V}_{3}})\ \right|}{\frac{5}{2}\cdot {{p}_{2}}\cdot ({{V}_{2}}-{{V}_{1}})},\ \eta =1-\frac{{{p}_{1}}\cdot ({{V}_{3}}-{{V}_{4}})}{{{p}_{2}}\cdot ({{V}_{2}}-{{V}_{1}})}, \\
& \eta =1-\frac{{{p}_{1}}\cdot ({{V}_{3}}-{{V}_{4}})}{{{p}_{2}}\cdot ({{V}_{3}}\cdot \sqrt[\gamma ]{\frac{{{p}_{1}}}{{{p}_{2}}}}-{{V}_{4}}\cdot \sqrt[\gamma ]{\frac{{{p}_{1}}}{{{p}_{2}}}})},\ \eta =1-\frac{{{p}_{1}}\cdot ({{V}_{3}}-{{V}_{4}})}{{{p}_{2}}\cdot \sqrt[\gamma ]{\frac{{{p}_{1}}}{{{p}_{2}}}}\cdot ({{V}_{3}}\cdot -{{V}_{4}})}, \\
& \eta =1-\frac{{{p}_{1}}}{{{p}_{2}}\cdot \sqrt[\gamma ]{\frac{{{p}_{1}}}{{{p}_{2}}}}},\ \frac{{{p}_{1}}}{{{p}_{2}}}=\frac{1}{n},\ \eta =1-\frac{1}{n\cdot \sqrt[\gamma ]{\frac{1}{n}}}\ . \\
\end{align}
\]
