По плоскому контуру, сделанному из тонкого провода течёт ток

[Антон Огурцевич]

По плоскому контуру, сделанному из тонкого провода течёт ток силой I = 100 А. Определить индукцию магнитного поля, создаваемого этим током в точке O. Радиус контура R = 20 см.

[Сергей]

Решение.
Рассмотрим четыре участка, АВ, ВС, СД, ДА.
Направление линий магнитной индукции на каждом участке определим по правилу буравчика. В точке О результирующий вектор магнитной индукции направлен от нас. Применим принцип суперпозиции.

\[ \begin{align}
  & \vec{B}={{{\vec{B}}}_{AB}}+{{{\vec{B}}}_{BC}}+{{{\vec{B}}}_{CD}}+{{{\vec{B}}}_{DA}},\  \\
 & oX:\ B={{B}_{AB}}+{{B}_{BC}}+{{B}_{CD}}+{{B}_{DA}}\ \ \ (1). \\
\end{align} \]

Определим модуль вектора магнитной индукции на участке АВ. Участок представляет дугу, равную половине окружности радиусом R. Магнитная индукция в центре кругового витка с током определяется по формуле и магнитная индукция на участке АВ будет равна:

\[ B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{2\cdot R},\ {{B}_{AB}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{2\cdot R}\ \ \ (2). \]

μ₀ = 4∙π∙10^-7 Гн/м – магнитная постоянная.
В_АВ = 157∙10^-6 Тл.
  Индукция магнитного поля в произвольной точке О, созданного отрезком проводника с током конечной длины, определим используя закон Био -  Савара -  Лапласа.

\[ \begin{align}
  & dB=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot \sin \alpha d\alpha ,\ B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot \int\limits_{{{\alpha }_{1}}}^{{{\alpha }_{2}}}{\sin \alpha d\alpha ,} \\
 & B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot (\cos {{\alpha }_{1}}-\cos {{\alpha }_{2}})\ \ \ (3). \\
\end{align} \]

Где: R - расстояние от т. О до проводника; – α₁ и α₂ углы, образованные радиус-вектором, проведенном в т. О соответственно из начала и конца проводника, с направлением тока.
Определим модуль вектора магнитной индукции на участке ВС и ДА.
α₂ = 3∙π/4, α₁ = π/2.

\[ \begin{align}
  & B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot (\cos \frac{\pi }{2}-\cos \frac{3\cdot \pi }{4})\ ,\ B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot (0+\frac{\sqrt{2}}{2})\ , \\
 & {{B}_{BC}}={{B}_{DA}}=\frac{\sqrt{2}\cdot {{\mu }_{0}}\cdot I}{8\cdot \pi \cdot R}\ \ \ (4). \\
\end{align} \]

В_ВС = В_ДА = 35,25∙10^-6 Тл.
Определим модуль вектора магнитной индукции на участке СД.
α₂ = β₂ = 3∙π/4, α₁ = β₁ =  π/ 4

\[ .\begin{align}
  & B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot (\cos \frac{\pi }{4}-\cos \frac{3\cdot \pi }{4})\ ,\ B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})\ , \\
 & {{B}_{DC}}=\frac{\sqrt{2}\cdot {{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\ \ \ (5). \\
\end{align}
 \]

В_СД = 70,5∙10^-6 Тл.
Подставим (5) (4) и (2) в (1) определим индукцию магнитного поля, создаваемого этим током в точке O.
В = 298∙10^-6 Тл.