Диск радиусом

[Антон Огурцевич]

Диск радиусом R = 5 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угловой скорости от вращения задаётся уравнением ω = 2∙A∙t + 5∙B∙t⁴ (A = 2 рад/с², B = 1 рад/с⁵).  Определить для точек на ободе диска к концу первой секунды после начала движения: 1) полное ускорение; 2) число оборотов, сделанных диском. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Запишем уравнение угловой скорости:

ω = 4∙t + 5∙t⁴    (1).

Определим число оборотов, сделанных диском к концу первой секунды.

\[ \omega =2\cdot \pi \cdot \nu ,\ \nu =\frac{N}{t},\ \omega =2\cdot \pi \cdot \frac{N}{t},\ N=\frac{t\cdot \omega }{2\cdot \pi },\ N=\frac{4\cdot {{t}^{2}}+5\cdot {{t}^{5}}}{2\cdot \pi }\ \ \ (1). \]

N = 1,43.
Нормальное ускорение определим по формуле (t = 1 с):

\[ {{a}_{n}}={{\omega }^{2}}\cdot R\ \ \ (2). \]

ω = 9 рад/с, а_n = 4,05 м/с².
Тангенциальное ускорение найдем как первую производную от ω по t:

\[  {{a}_{\tau }}=\omega {{(t)}^{\prime }}=4+20\cdot {{t}^{3}}\ \ \ (3). \]

а_τ = 24 м/с². 
Полное ускорение определим по формуле:

\[ a=\sqrt{a_{n}^{2}+a_{\tau }^{2}}\ \ \ (4). \]

а = 24,34 м/с².