Азот

[Антон Огурцевич]

Азот массой m = 500 г, находящийся под давлением p₂ = 1 МПа при температуре t₁ = 127 градусов Цельсия, подвергли изотермическому расширению, в результате которого давление газа уменьшилось в 3 раза. После этого газ подвергли адиабатному сжатию до начального давления, а затем он был изобарно сжат до начального объёма. Постройте график цикла и определите работу, совершённую газом за цикл. Сделать рисунки.

[Сергей]

Решение.
Участок 1 → 2 изотермическое расширение. 
При изотермическом процессе выполняется условие:

р∙V = соnt   (1)

для некоторых начальных условий р₁ и V₁ можно записать:

\[ \begin{align}
  & p=\frac{{{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}}{V},\ {{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}=\frac{m}{M}\cdot R\cdot T. \\
 & {{V}_{1}}=\frac{m}{{{p}_{1}}\cdot M}\cdot R\cdot T,\ {{V}_{2}}=\frac{{{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}}{{{p}_{2}}},\ \frac{{{p}_{1}}}{{{p}_{2}}}=3,\ {{V}_{2}}=3\cdot {{V}_{1}}. \\
\end{align} \]

R – универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/моль.М – молярная масса азота, М = 28∙10^-3 кг/моль. Т₁ = (273 + 127) = 400 К.
V₁ = 0,0593 м³, V₂ = 0,178 м³.
Работа газа при изотермическом процессе определяется по формуле:

\[ A=\int\limits_{{{V}_{1}}}^{{{V}_{2}}}{pdV.} \]

Получим:

\[ A={{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}\int\limits_{{{V}_{1}}}^{{{V}_{2}}}{\frac{dV}{V}}=\frac{m}{M}\cdot R\cdot T\cdot \ln \frac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}. \]

А₁₂ = 130420,97 Дж.
Участок 2 → 3 адиабатное сжатие до начального давления. 
Запишем уравнение адиабаты:

р∙V^k = соnt    (2).

k – показатель адиабаты,

\[ k=\frac{{{C}_{p}}}{{{C}_{V}}}\ \ \ (3). \]

С_р и С_V – теплоемкость при изобарном и изохорном процессе, азот двухатомный газ, для двухатомных газов k = 1,4.
Определим V₃ :

\[ {{p}_{2}}\cdot V_{2}^{1,4}={{p}_{1}}\cdot V_{3}^{1,4},\ \frac{{{p}_{2}}}{{{p}_{1}}}={{(\frac{{{V}_{3}}}{{{V}_{2}}})}^{1,4}},\ {{V}_{3}}={{V}_{2}}\cdot \sqrt[1,4]{\frac{{{p}_{2}}}{{{p}_{1}}}},\ \frac{{{p}_{1}}}{{{p}_{2}}}=3,\ {{V}_{3}}={{V}_{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt[1,4]{3}}. \]

V₃ = 0,0812 м³.
Работа, совершённая газом при адиабатном процессе определяется по формуле:

\[ A=\frac{{{p}_{1}}\cdot {{V}_{3}}}{k-1}\cdot (1-{{(\frac{{{V}_{3}}}{{{V}_{2}}})}^{k-1}})\ \ \ (4). \]

А₂₃ = 54810 Дж
Участок 3 → 1 изобарное сжатие до начальной температуры.
Запишем уравнение Клапейрона Менделеева и определим Т₃.

\[ {{p}_{1}}\cdot {{V}_{3}}=\frac{m}{M}\cdot R\cdot {{T}_{3}},\ {{T}_{3}}=\frac{M\cdot {{p}_{1}}\cdot {{V}_{3}}}{R\cdot m}\ \ \ (5). \]

Определим работу A₃₁:

\[ A=\frac{m}{M}\cdot R\cdot ({{T}_{1}}-{{T}_{3}})\ \ \ (6). \]

А₃₁ = -23538,98 Дж.

А = А₁₂ + А₂₃ + А₃₁    (7).

А = 161692 Дж.