Решение.
Покажем рисунок. Запишем условие максимума для пункта С.
∆d = d2 – d1 = k∙λ, (1).
По теореме Пифагора выразим
d1 и
d2:
\[ d_{2}^{2}={{L}^{2}}+{{({{y}_{k}}+\frac{d}{2})}^{2}},\ d_{1}^{2}={{L}^{2}}+{{({{y}_{k}}-\frac{d}{2})}^{2}}. \]
L – расстояние от источников до экрана,
уk – расстояние от нулевого до
k максимума.
Преобразуем равенства:
\[ d_{2}^{2}-d_{1}^{2}=2\cdot {{y}_{k}}\cdot d,\ ({{d}_{2}}+{{d}_{1}})\cdot ({{d}_{2}}-{{d}_{1}})=2\cdot {{y}_{k}}\cdot d. \]
Примем:
\[ d\ll L,\ {{d}_{1}}+{{d}_{2}}=2\cdot L,\ {{d}_{2}}-{{d}_{1}}=\frac{{{y}_{k}}\cdot d}{L}\ \ \ (2). \]
Подставим (1) в (2) выразим
yk и определим расстояние между соседними максимумами. Расстояние между соседними максимумами равно ширине интерференционной полосе.
\[ \begin{align}
& k\cdot \lambda =\frac{{{y}_{k}}\cdot d}{L},\ {{y}_{k}}=\frac{k\cdot L\cdot \lambda }{d},\ {{y}_{k+1}}=\frac{(k+1)\cdot L\cdot \lambda }{d}. \\
& \Delta y={{y}_{k+1}}-{{y}_{k}},\ \Delta y=\frac{(k+1)\cdot L\cdot \lambda }{d}-\frac{k\cdot L\cdot \lambda }{d}=\frac{L\cdot \lambda }{d}\ \ \ (3). \\
\end{align} \]
∆
у – ширина интерференционной полосы.Учитываем, что расстояние до решетки и расстояние между источниками при смене светофильтра не изменяется.
\[ \frac{\Delta {{y}_{2}}}{\Delta {{y}_{1}}}=\frac{L\cdot {{\lambda }_{2}}\cdot d}{d\cdot L\cdot {{\lambda }_{1}}}=\frac{{{\lambda }_{2}}}{{{\lambda }_{1}}}\ =1,2\ \ (4). \]
Ширина интерференционной полосы увеличится в 1,2 раза.
