Газ массой находится в сосуде объемом

[Антон Огурцевич]

Газ массой m, находится в сосуде объемом V при температуре t (состояние 1). Газ последовательно переводят между тремя состояниями: 1→2→3→1. Вид перехода между состояниями и соответствующее ему изменение параметров указано в таблице. Определить: 1) изменение внутренней энергии газа, совершенную им работу и количество теплоты, сообщенное газу для каждого перехода; 2) изменение внутренней энергии газа, совершенную им работу и количество теплоты, сообщенное газу, для полного цикла; 3) КПД цикла.
Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Определить: 1) изменение внутренней энергии газа, совершенную им работу и количество теплоты, сообщенное газу для каждого перехода;
Переход 1→2. р = соnst, V₁ = 25∙10^-3 м³, Т₁ = (627 +273) = 900 К.
Давление определим используя уравнение Клапейрона Менделеева.

\[ {{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}=\frac{m}{M}\cdot R\cdot {{T}_{1}},\ {{p}_{1}}=\frac{m}{M\cdot {{V}_{1}}}\cdot R\cdot {{T}_{1}}\ \ \ (1). \]

Где: R = 8,31 Дж/моль∙К – универсальная газовая постоянная, М = 20,2∙10^-3 кг/моль, М – молярная масса неона, неон – одноатомный газ, будем считать его идеальным.
р₁ = 4,44∙10⁶ Па.
 р₁ = р₂ = 4,44∙10⁶ Па.
Т₂ = Т₁/3, Т₂ = 300 К.

\[ \frac{{{V}_{1}}}{{{T}_{1}}}=\frac{{{V}_{2}}}{{{T}_{2}}},\ {{V}_{2}}=\frac{{{V}_{1}}}{{{T}_{1}}}\cdot {{T}_{2}}\ \ \ (2). \]

V₂ = 8,33∙10^-3 м³.

\[ \begin{align}
  & {{A}_{12}}=\frac{m}{M}\cdot R\cdot ({{T}_{2}}-{{T}_{1}})\ \ \ (3),\ \Delta U=\frac{i}{2}\cdot \frac{m}{M}\cdot R\cdot ({{T}_{2}}-{{T}_{1}}),\ i=3,\Delta U=\frac{3}{2}\cdot {{A}_{12}}\ \ \ (4), \\
 & {{Q}_{12}}=\frac{5}{2}\cdot {{A}_{12}}\ \ \ (5). \\
\end{align} \]

А₁₂ = -7404,95 Дж, ∆U₁₂ = -11107,425 Дж, Q₁₂ = -18512,375 Дж.
Процесс 2→3 – изохорный. V = соnst.
 Определим р₂.

\[ \frac{{{p}_{1}}}{{{T}_{2}}}=\frac{{{p}_{2}}}{{{T}_{3}}},\ {{p}_{2}}=\frac{{{p}_{1}}}{{{T}_{2}}}\cdot {{T}_{3}}\ \ \ (6). \]

р₂ = 13,32∙10⁶ Па. Т₃ = Т₁ = 900 К.

\[ \begin{align}
  & {{A}_{23}}=0,\ {{Q}_{23}}=\Delta {{U}_{23}}\ \ \ (7),\ \Delta {{U}_{23}}=\frac{i}{2}\cdot \frac{m}{M}\cdot R\cdot ({{T}_{3}}-{{T}_{2}}),\ i=3,\  \\
 & \Delta {{U}_{23}}=\frac{3}{2}\cdot \frac{m}{M}\cdot R\cdot ({{T}_{3}}-{{T}_{2}})\ \ \ (8\ ). \\
\end{align} \]

∆U₂₃ = 11107,425 Дж, Q₂₃ = 11107,425 Дж.
Процесс 3→1 – изотермический. Т = соnst. Т₁₃ = 900 К.
Определим работу на этом участке:

\[ \ {{A}_{31}}=\frac{m}{M}\cdot R\cdot T\int\limits_{{{V}_{2}}}^{{{V}_{1}}}{\frac{1}{V}dV=}\ \frac{m}{M}\cdot R\cdot T\ \cdot \ln \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}\ \ \ \ (9). \]

А₃₁ = 12202,75 Дж.

∆U₃₁ = 0, Q₃₁ = А₃₁   (10).

Q₃₁ = 12202,75 Дж.
2) изменение внутренней энергии газа, совершенную им работу и количество теплоты, сообщенное газу, для полного цикла;
Газ получал теплоту на участке 2→3 и 3→1.

Q = Q₂₃ + Q₃₁   (11).

Q = 23307,175 Дж.
Изменение внутренней энергии газа:

∆U = ∆U₁₂ + ∆U₂₃ + ∆U₃₁   (12).

∆U = 0.

А = А₁₂ + А₂₃ + А₃₁   (13).

А = 4797,8 Дж.
Определим КПД цикла.

\[ \eta =\frac{A}{Q}\ \ \ (14). \]

η = 20 %.