Найти отношение кинетической энергии точки

[Антон Огурцевич]

Найти отношение кинетической энергии W_к точки, совершающей гармоническое колебание, к её потенциальной энергии W_п для моментов времени: a) t = T/12; б) t = T/8; в) t = T/6. Начальная фаза колебаний φ = 0. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
 Для написания уравнения координаты от времени используем функцию соs. Напишем уравнение координаты:

x = X_m∙соsω∙t   (1).

Где: х – координата тела, Х_m – амплитуда, ω – угловая скорость, ω = 2∙π/Т, Т – период колебаний.   
Для нахождения скорости возьмем первую производную по времени от х:

υ = - ω∙Х_m∙sinω∙t   (2).

Напишем формулу для нахождения кинетической энергии:

\[ {{E}_{K}}=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2},\ {{E}_{K}}=\frac{m\cdot {{(-\omega )}^{2}}\cdot X_{m}^{2}\cdot {{\sin }^{2}}\frac{2\cdot \pi }{T}\cdot t}{2}\ \ \ (3). \]

Напишем формулу для нахождения потенциальной энергии:

\[  {{E}_{p}}=\frac{k\cdot {{x}^{2}}}{2},\ {{E}_{p}}=\frac{k\cdot X_{m}^{2}\cdot {{\cos }^{2}}\frac{2\cdot \pi }{T}\cdot t}{2}\ \ \ (4). \]

  Учитываем, что:

\[ {{\omega }^{2}}=\frac{k}{m}\ \ \ (5). \]

Найдем отношение кинетической энергии точки, к ее потенциальной энергии: 

\[ \frac{{{E}_{K}}}{{{E}_{p}}}=\frac{2\cdot m\cdot {{(-\omega )}^{2}}\cdot X_{m}^{2}\cdot {{\sin }^{2}}\frac{2\cdot \pi }{T}\cdot t}{2\cdot k\cdot X_{m}^{2}\cdot {{\cos }^{2}}\frac{2\cdot \pi }{T}\cdot t}=t{{g}^{2}}\frac{2\cdot \pi }{T}\cdot t\ \ \ (6)\cdot  \]

\[ t=\frac{T}{12},\ \frac{{{E}_{K}}}{{{E}_{p}}}=t{{g}^{2}}\frac{2\cdot \pi }{T}\cdot \frac{T}{12}=\frac{1}{3}, \]

\[ t=\frac{T}{8},\ \frac{{{E}_{K}}}{{{E}_{p}}}=t{{g}^{2}}\frac{2\cdot \pi }{T}\cdot \frac{T}{8}=1, \]

\[ t=\frac{T}{6},\ \frac{{{E}_{K}}}{{{E}_{p}}}=t{{g}^{2}}\frac{2\cdot \pi }{T}\cdot \frac{T}{6}=3. \]

Ответ: 1/3, 1, 3.