Решение.
Кинетическая энергия бойка перейдет в кинетическую энергию совместного движения бойка и сваи. В результате неупругого взаимодействия бойка и сваи часть энергии пойдет на нагревание тел. Запишем формулу для определения КПД неупругого удара.
\[ \eta =\frac{{{W}_{KBC}}}{{{W}_{KB}}}\ \ \ (1). \]
WКВ – кинетическая энергия бойка,
WКВС – кинетическая энергия бойка и сваи.
Для определения скорости совместного движения бойка и сваи используем закон сохранения импульса для неупругого взаимодействия. Покажем рисунок.
\[ {{m}_{1}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{1}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \vec{\upsilon }. \]
Находим проекции на ось
Ох:
\[ {{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \upsilon ,\ \upsilon =\frac{{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}\ \ \ (2). \]
Запишем формулы для определения кинетической энергии бойка и сваи.
\[ {{W}_{KB}}=\frac{{{m}_{1}}\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2}\ \ \ (3),\ {{W}_{KBC}}=\frac{({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}\ \ \ (4). \]
(2) подставим в (4) (3) и (4) подставим в (1) определим КПД.
\[ \begin{align}
& {{W}_{KBC}}=\frac{({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot m_{1}^{2}\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2\cdot {{({{m}_{1}}+{{m}_{2}})}^{2}}}=\frac{m_{1}^{2}\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2\cdot ({{m}_{1}}+{{m}_{2}})}\ \ \ (5). \\
& \eta =\frac{\frac{m_{1}^{2}\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2\cdot ({{m}_{1}}+{{m}_{2}})}}{\frac{{{m}_{1}}\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2}}=\frac{{{m}_{1}}}{({{m}_{1}}+{{m}_{2}})}\ \ (6). \\
\end{align} \]
η = 80 %.
