Какое сопротивление следует подключить, чтобы мощность уменьшилась

[Антон Огурцевич]

Спираль нагревательного элемента с сопротивлением 12 Ом подключена к источнику тока с внутренним сопротивлением 4 Ом. Какое сопротивление следует подключить параллельно спирали, чтобы мощность, потребляемая ею, уменьшилась в 4 раза? Сделать рисунок.

[alsak]

Мощность спирали сопротивлением R, подключенной к источнику тока с ЭДС E и внутренним сопротивлением r, равна
 
\[P_{1} =I_{1}^{2} \cdot R=\left(\frac{E}{R+r} \right)^{2} \cdot R.\]
Если параллельно к спирали подключить сопротивление R₂, то мощность спирали будет равна
 
\[P_{2} =\frac{U_{2}^{2} }{R} =\frac{1}{R} \cdot \left(\frac{E\cdot R_{0} }{R_{0} +r} \right)^{2} ,\; \; \frac{1}{R_{0} } =\frac{1}{R} +\frac{1}{R_{1} } ,\]
где по условию P₁ = 4P₂.
Решим систему уравнений. Например,
\[\frac{P_{1} }{P_{2} } =4=\left(\frac{R_{0} +r}{R_{0} \cdot \left(R+r\right)} \right)^{2} \cdot R^{2} ,\; \; 2=\frac{\left(R_{0} +r\right)\cdot R}{R_{0} \cdot \left(R+r\right)} ,\]
\[2R_{0} \cdot R+2R_{0} \cdot r=R_{0} \cdot R+r\cdot R,\; \; R_{0} =\frac{r\cdot R}{R+2r} ,\]
\[\frac{1}{R_{0} } =\frac{1}{R} +\frac{1}{R_{1} } =\frac{R+2r}{r\cdot R} ,\; \; \frac{1}{R_{1} } =\frac{R+2r}{r\cdot R} -\frac{1}{R} =\frac{R+r}{r\cdot R} ,\; \; R_{1} =\frac{r\cdot R}{R+r} ,\]
R₁ = 3 Ом.