Три источника тока с электродвижущими силами

[Антон Огурцевич]

Три источника тока с электродвижущими силами E₁ = 2,5 В, E₂ = 2 В, E₃ = 1,5 В и сопротивлениями R₁ = 2 Ом, R₂ = 3 Ом, R₃ = 0,8 Ом соединены, как показано на рис. 30. Определить токи в сопротивлениях. Сопротивлением источников пренебречь. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Для цепи применим правила Кирхгофа:
Первое правило – сумма токов, подходящих к узлу, равна сумме токов, выходящих из узла.
Второе правило – в любом замкнутом контуре сложной цепи сумма действующих ЭДС равна сумме падений напряжения на сопротивлениях этого контура, причем электродвижущие силы берем со знаком плюс если они повышают потенциал по направлению обхода (переходим от минуса к плюсу), и со знаком минус, если понижают.
Составим уравнения (рис).

I₃ + I₂ = I₁   (1).
E ₃ -E ₂ = I₃∙R₃ – I₂∙R₂    (2).
E₂ -E ₁ = I₂∙R₂ + I₁∙R₁   (3).

Из (3) выразим I₁, из (2) выразим I₃, подставим I₁ и I₃ в (1) выразим I₂:

\[ \begin{align}
  & {{I}_{1}}=\frac{{{\xi }_{2}}-{{\xi }_{1}}-{{R}_{2}}\cdot {{I}_{2}}}{{{R}_{1}}}\ \ \ (4),\ {{I}_{3}}=\frac{{{\xi }_{3}}-{{\xi }_{2}}+{{R}_{2}}\cdot {{I}_{2}}}{{{R}_{3}}}\ \ \ (5), \\
 & \ {{I}_{2}}={{I}_{1}}-{{I}_{3}},\ {{I}_{2}}=\frac{{{\xi }_{2}}-{{\xi }_{1}}-{{R}_{2}}\cdot {{I}_{2}}}{{{R}_{1}}}-\frac{{{\xi }_{3}}-{{\xi }_{2}}+{{R}_{2}}\cdot {{I}_{2}}}{{{R}_{3}}},\ {{I}_{2}}=\frac{{{\xi }_{2}}-{{\xi }_{1}}}{{{R}_{1}}}-\frac{{{R}_{2}}\cdot {{I}_{2}}}{{{R}_{1}}}-\frac{{{\xi }_{3}}-{{\xi }_{2}}}{{{R}_{3}}}-\frac{{{R}_{2}}\cdot {{I}_{2}}}{{{R}_{3}}}, \\
 & {{I}_{2}}+\frac{{{R}_{2}}\cdot {{I}_{2}}}{{{R}_{1}}}+\frac{{{R}_{2}}\cdot {{I}_{2}}}{{{R}_{3}}}=\frac{{{\xi }_{2}}-{{\xi }_{1}}}{{{R}_{1}}}-\frac{{{\xi }_{3}}-{{\xi }_{2}}}{{{R}_{3}}},\ {{I}_{2}}=\frac{\frac{{{\xi }_{2}}-{{\xi }_{1}}}{{{R}_{1}}}-\frac{{{\xi }_{3}}-{{\xi }_{2}}}{{{R}_{3}}}}{1+\frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}}+\frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{3}}}}\ \ \ (6). \\
\end{align} \]

I₂ = 0,06 А. 
Подставим I₂ в (4) и (5) найдем токи I₁ и I₃.
I₁ = -0,34 А, (Ток течет против выбранного нами направления).
 I₃ = -0,4 А, (Ток течет против выбранного нами направления).
Ответ: I₁ = 0,34 А, I₂ = 0,06 А, I₃ = 0,4 А