На двух концентрических сферах радиусами

[Антон Огурцевич]

На двух концентрических сферах радиусами R и 2R (см. рисунок 2.5) равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями σ₁ и σ₂. Постройте сквозной график зависимости напряжённости электрического поля от расстояния до общего центра сфер Е(r) для трёх областей: I – внутри сферы меньшего радиуса, II – между сферами и III – за пределами сферы большего радиуса. Принять σ₁ = +σ, σ₂ = -σ. Вычислите напряжённость электрического поля в точке, удалённой от общего центра сфер на расстояние r, и покажите на рисунке направление вектора напряжённости поля в этой точке. Принять σ = 0,1 мкКл/м², r = 3R. Сделать рисунки.

[Виктор]

Решение: для определения напряжённости воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса: поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность пропорционален заряду, заключенному в ней:
\[ \oint _{S}\vec{E}\cdot d\vec{S} =\frac{1}{\varepsilon _{0} } \cdot Q,{\rm \; \; \; \; \; }E\cdot S=\frac{Q}{\varepsilon _{0} } \cdot \]
Здесь ε₀=8,85•10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.
Пусть поверхность – сфера, радиуса x (см. рис.). Тогда S = 4π•x². Остаётся найти заряд внутри для трёх случаев, учитывая поверхностную плотность заряда Q = σ•S, где S = 4π•r² – площадь соответствующей сферы.
Область 1 – в этом случае заряда нет внутри, область 2 – первая сфера радиуса R целиком внутри, область 3 – и первая и вторая сферы целиком лежат внутри нашей поверхности радиуса x. Таким образом:
\[ \begin{array}{l} {0<x<R:{\rm \; \; \; \; \; }E_{1} \cdot 4\pi \cdot x^{2} =\frac{0}{\varepsilon _{0} } ,{\rm \; \; \; \; }E_{1} =0;} \\ {R\le x<2R:{\rm \; \; \; \; \; }E_{2} \cdot 4\pi \cdot x^{2} =\frac{\sigma _{1} \cdot 4\pi \cdot R^{2} }{\varepsilon _{0} } ,{\rm \; \; \; \; }E_{2} =\frac{\sigma \cdot R^{2} }{\varepsilon _{0} \cdot x^{2} } ;} \\ {2R\le x<+\infty :{\rm \; \; \; \; \; }E_{3} \cdot 4\pi \cdot x^{2} =\frac{\sigma _{1} \cdot 4\pi \cdot R^{2} +\sigma _{2} \cdot 4\pi \cdot \left(2\cdot R^{2} \right)}{\varepsilon _{0} } ,{\rm \; \; \; \; }E_{3} =-\frac{3\cdot \sigma \cdot R^{2} }{\varepsilon _{0} \cdot x^{2} } .} \end{array} \]
 При расчёте учли условие задачи. Знак минус в области 3 указывает на то, что поле в этой области направлено в противоположную сторону оси x.
Таким образом, зависимость  следующая
\[ \begin{array}{l} {0<x<R:{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; }0;} \\ {R\le x<2R:{\rm \; \; \; \; \; \; \; }\frac{0,1\cdot 10^{-6} \cdot R^{2} }{8,85\cdot 10^{-12} \cdot x^{2} } =11,3\cdot 10^{3} \cdot \left(\frac{R}{x} \right)^{2} ;} \\ {2R\le x<+\infty :{\rm \; \; \; \; \; }-\frac{3\cdot \sigma \cdot R^{2} }{\varepsilon _{0} \cdot x^{2} } =\frac{3\cdot 0,1\cdot 10^{-6} \cdot R^{2} }{8,85\cdot 10^{-12} \cdot x^{2} } =-33,9\cdot 10^{3} \cdot \left(\frac{R}{x} \right)^{2} .} \end{array}  \]

Модуль напряженности в точке x = r = 3•R при σ = 0,1 мкКл/м²:
\[ E(r)=-\frac{3\cdot \sigma \cdot R^{2} }{\varepsilon _{0} \cdot \left(3\cdot R\right)^{2} } =-\frac{\sigma }{\varepsilon _{0} \cdot 3} =-\frac{0,1\cdot 10^{-6} }{8,85\cdot 10^{-12} \cdot 3} =-3766,4. \]
E(r)=-3,8 кВ/м.
При построении графика зависимости модуля E(r) учли, что значение напряжённости обратно пропорциональна квадрату расстояния, т.е. кривые – гиперболы, а точки начала и окончания посчитаны по ранее полученным формулам используя σ = 0,1 мкКл/м²:
Область 2:  R ≤ x < 2R,
График начинается из точки
\[ x=R:{\rm \; \; \; \; \; \; \; }E(x)=11,3\cdot 10^{3} \cdot \left(\frac{R}{R} \right)^{2} =11,3\cdot 10^{3}. \]
 График асимптотически приближается к точке (данная точка не принадлежит графику)
\[ x=2R:{\rm \; \; \; \; \; \; \; }E(x)=11,3\cdot 10^{3} \cdot \left(\frac{R}{2R} \right)^{2} =2,8\cdot 10^{3}. \]
Область 3:  x ≥ 2R,
График начинается из точки
\[ x=2R:{\rm \; \; \; \; \; }E(x)=-33,9\cdot 10^{3} \cdot \left(\frac{R}{2R} \right)^{2} =-8,5\cdot 10^{3} \].
И асимптотически приближается к нулю.