На двух концентрических сферах

[Антон Огурцевич]

На двух концентрических сферах радиусами R и 2R равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями σ₁ и σ₂. Постройте сквозной график зависимости напряжённости электрического поля от расстояния до общего центра сфер Е(r) для трёх областей: I – внутри сферы меньшего радиуса, II – между сферами и III – за пределами сферы большего радиуса. Принять σ₁ = -4σ, σ₂ = +σ. Вычислите напряжённость электрического поля в точке, удалённой от общего центра сфер на расстояние r, и покажите на рисунке направление вектора напряжённости поля в этой точке. Принять σ = 50 нКл/м², r = 1,5R. Сделать рисунки.

[Виктор]

Решение: для определения напряжённости воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса: поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность пропорционален заряду, заключенному в ней:
\[ \oint _{S}\vec{E}\cdot d\vec{S} =\frac{1}{\varepsilon _{0}} \cdot Q,{\rm \; \; \; \; \; }E\cdot S=\frac{Q}{\varepsilon _{0}} \cdot   \]
Здесь ε₀=8,85•10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.
Пусть поверхность – сфера, радиуса x (см. рис.). Тогда S = 4π•x². Остаётся найти заряд внутри для трёх случаев, учитывая поверхностную плотность заряда Q = σ•S, где S = 4π•x² – площадь соответствующей сферы.
Область 1 – в этом случае заряда нет внутри, область 2 – первая сфера радиуса R целиком внутри, область 3 – и первая и вторая сферы целиком лежат внутри нашей поверхности радиуса x. Таким образом:
\[ \begin{array}{l} {0<x<R:{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; }E_{1} \cdot 4\pi \cdot x^{2} =\frac{0}{\varepsilon _{0} } ,{\rm \; \; \; \; }E_{1} =0;} \\ {R\le x<2R:{\rm \; \; \; \; \; }E_{2} \cdot 4\pi \cdot x^{2} =\frac{\sigma _{1} \cdot 4\pi \cdot R^{2} }{\varepsilon _{0} } ,{\rm \; \; \; \; }E_{2} =-\frac{4\sigma \cdot R^{2} }{\varepsilon _{0} \cdot x^{2} } ;} \\ {2R\le x<+\infty :{\rm \; \; \; \; \; }E_{3} \cdot 4\pi \cdot x^{2} =\frac{\sigma _{1} \cdot 4\pi \cdot R^{2} +\sigma _{2} \cdot 4\pi \cdot \left(2\cdot R^{2} \right)}{\varepsilon _{0} } ,{\rm \; \; \; \; }} \\ {{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; }E_{3} =\frac{-4\cdot \sigma \cdot R^{2} +\sigma \cdot 4\cdot R^{2} }{\varepsilon _{0} \cdot x^{2} } =0.} \end{array} \]
При расчёте учли условие задачи. Знак минус в области 2 указывает на то, что поле в этой области направлено в противоположную сторону оси x.
Таким образом, зависимость  следующая
\[ \begin{array}{l} {0<x<R:{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; }0;} \\ {R\le x<2R:{\rm \; \; \; \; \; \; \; }\frac{-4\cdot 50\cdot 10^{-9} \cdot R^{2} }{8,85\cdot 10^{-12} \cdot x^{2} } =-22,6\cdot 10^{3} \cdot \left(\frac{R}{x} \right)^{2} ;} \\ {2R\le x<+\infty :{\rm \; \; \; \; \; 0}.} \end{array} \]
Модуль напряженности в точке x = r = 1,5•R при σ = 50 нКл/м²:
\[ E(r)=-22,6\cdot 10^{3} \cdot \left(\frac{R}{1,5R} \right)^{2} =-\frac{22,6\cdot 10^{3} }{1,5^{2} } =-10\cdot 10^{3}.  \]
E(r) = –10 кВ/м, направление  - против оси x (см. рис.)
При построении графика зависимости  проекции E(x) учли, что значение напряжённости обратно пропорциональна квадрату расстояния, т.е. во второй области  – гипербола. Граничные точки для области 2:
График начинается из точки с координатами (точка принадлежит графику)
\[ x=R,{\rm \; \; \; \; \; \; \; }E(x)=-22,6\cdot 10^{3} \cdot \left(\frac{R}{R} \right)^{2} =-22,6\cdot 10^{3};  \]
График заканчивается в точке с координатами (точка  не принадлежит графику)
\[ x=2R,{\rm \; \; \; \; \; }E(x)=-22,6\cdot 10^{3} \cdot \left(\frac{R}{2R} \right)^{2} =-5,65\cdot 10^{3}.  \]