Решение.
В случае абсолютно упругого удара закон сохранения импульса принимает вид:
\[ m\cdot \vec{\upsilon }=m\cdot {{\vec{\upsilon }}_{1}}+M\cdot {{\vec{\upsilon }}_{2}}\ \ \ (1). \]
υ – скорость меньшего шара до взаимодействия, υ
1 – скорость меньшего шара после взаимодействия, υ
2 – скорость большего шара после взаимодействия.
Покажем рисунок, предположим, что при упругом центральном ударе шарики отскакивают в разные стороны и найдем проекции на ось
Ох:\[ m\cdot \upsilon =-m\cdot {{\upsilon }_{1}}+M\cdot {{\upsilon }_{2}}\ \ \ (2). \]
Запишем закон сохранения энергии для упругого столкновения двух тел:
\[ \frac{m\cdot \upsilon _{{}}^{2}}{2}=\frac{m\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2}+\frac{M\cdot \upsilon _{2}^{2}}{2}\ \ \ (3). \]
По условию задачи известно, что меньший шар теряет 40 % своей энергии, остается 60 %:
\[ 0,6\cdot \frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}=\frac{m\cdot {{\upsilon }_{1}}^{2}}{2}\ \ \ \ (4). \]
Из (4) выразим υ
12 и подставим в (3), из (3) выразим υ
2 и подставим в (2) выразим массу большего шара.
\[ \begin{align}
& \upsilon _{1}^{2}=0,6\cdot {{\upsilon }^{2}}\ \ \ (5),\ \upsilon _{1}^{{}}=\sqrt{0,6}\cdot \upsilon \ \ \ \ (6),\ m\cdot \upsilon _{{}}^{2}=m\cdot 0,6\cdot {{\upsilon }^{2}}+M\cdot \upsilon _{2}^{2}\ ,\ \\
& M\cdot \upsilon _{2}^{2}=m\cdot {{\upsilon }^{2}}\cdot (1-0,6),\ {{\upsilon }_{2}}=\sqrt{\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}\cdot (1-0,6)}{M}}\ \ \ \ (7). \\
& m\cdot \upsilon =M\cdot \sqrt{\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}\cdot (1-0,6)}{M}}-m\cdot \sqrt{0,6}\cdot \upsilon ,\ m\cdot \upsilon \cdot (1+\sqrt{0,6})=\sqrt{\frac{{{M}^{2}}\cdot m\cdot {{\upsilon }^{2}}\cdot (1-0,6)}{M}}, \\
& m\cdot (1+\sqrt{0,6})=\sqrt{M\cdot m\cdot (1-0,6)},\ {{m}^{2}}\cdot {{(1+\sqrt{0,6})}^{2}}=M\cdot m\cdot (1-0,6), \\
& M=\frac{m\cdot {{(1+\sqrt{0,6})}^{2}}}{1-0,6}\ \ \ \ (8\ ). \\
\end{align}
\]
М = 15,74 кг.
