Решение: а) закон Брюстера — закон оптики, выражающий связь показателей преломления двух диэлектриков с таким углом падения света, при котором свет, отражённый от границы раздела диэлектриков, будет полностью поляризованным в плоскости, перпендикулярной плоскости падения.
\[ tg\alpha =\frac{n_{2} }{n_{1} } =\frac{n_{2} }{1} =n_{2} ,{\rm \; \; \; \; }n_{2} =tg58{}^\circ =1,6. \]
б) явление полного отражения наблюдается при распространении света из оптически более плотной среды (n2 = n) в оптически менее плотную – в нашем случае воздух (n1 = 1). Предельный угол полного отражения равен
\[ \sin \alpha _{0} =\frac{n_{1} }{n_{2} } =\frac{1}{n}. \]
Угол полной поляризации – угол Брюстера, и он равен α0
\[ tg\alpha _{0} =\frac{n_{2}}{n_{1}} =\frac{n_{2}}{1} =n. \]
Воспользуемся тригонометрией, после подстановки – биквадратное уравнение, замена переменной, отрицательный корень не подходит по физическому смыслу, тогда:
\[ \begin{array}{l} {tg\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } =\frac{\sin \alpha }{\sqrt{1-\sin ^{2} \alpha } } ,} \\ {\frac{\frac{1}{n} }{\sqrt{1-\left(\frac{1}{n} \right)^{2} } } =n,{\rm \; \; \; \; }n^{2} \cdot \sqrt{1-\left(\frac{1}{n} \right)^{2} } =1,{\rm \; \; \; \; }n^{4} -n^{2} -1=0,} \\ {n^{2} =x,{\rm \; \; \; \; \; }x^{2} -x-1=0,{\rm \; \; \; \; \; }D=1^{2} -4\cdot 1\cdot \left(-1\right)=5,} \\ {x=\frac{1+\sqrt{5} }{2} ,{\rm \; \; \; \; }n=\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} =1,272.} \end{array} \]
Ответ: а) 1,6; б) 1,3.
