Решение.
Шар большей массы отводят в сторону на высоту
h = 75 см и отпускают, используем закон сохранения энергии определим скорость большего шара в момент удара в меньший шар.
\[ {{m}_{1}}\cdot g\cdot h=\frac{{{m}_{2}}\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2},\ \frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{2}}}=1,5,\ \frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{2}}}\cdot g\cdot h=\frac{\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2},\ 1,5\cdot g\cdot h=\frac{\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2},\ {{\upsilon }_{1}}=\sqrt{3\cdot g\cdot h}\ \ \ (1). \]
Рассмотрим процесс столкновения шаров (неупругое взаимодействие). Запишем закон сохранения импульса и определим скорость совместного движения шаров:
\[ {{m}_{1}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{1}}=({{m}_{2}}+{{m}_{1}})\cdot \vec{\upsilon }\ \ \ (2). \]
Найдем проекции на ось
Ох:\[ \begin{align}
& {{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}=({{m}_{2}}+{{m}_{1}})\cdot \upsilon ,\ \ {{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}={{m}_{2}}\cdot \upsilon +{{m}_{1}}\cdot \upsilon ,\ \ \\
& 1,5\cdot {{\upsilon }_{1}}=\upsilon +1,5\cdot \upsilon ,\ 1,5\cdot {{\upsilon }_{1}}=(1+1,5)\cdot \upsilon ,\ \upsilon =\frac{1,5\cdot {{\upsilon }_{1}}}{2,5},\ \upsilon =\frac{3\cdot {{\upsilon }_{1}}}{5}\ \ \ (2). \\
\end{align} \]
Рассмотрим процесс движения шаров до максимальной высоты.
Запишем закон сохранения энергии (рис 2):
\[ \frac{({{m}{_2}}+{{m}_{1}})\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}=({{m}_{2}}+{{m}_{1}})\cdot g\cdot H\ \ \ (3). \]
(1) подставим в (2) а (2) подставим в (3) выразим максимальную высоту подъёма.
\[ \frac{({{m}_{2}}+{{m}_{1}})\cdot {{(\frac{3\cdot \sqrt{3\cdot g\cdot h}}{5})}^{2}}}{2}=({{m}_{2}}+{{m}_{1}})\cdot g\cdot H,\ \ \frac{\frac{9\cdot 3\cdot g\cdot h}{25}}{2}=g\cdot H,\ \ H=\frac{27\cdot h}{50}\ \ \ (4). \]
Н = 40,5 см.
