Твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси

[Антон Огурцевич]

Твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону φ = А∙t-В∙t³, где А = 6,0 рад/с, В = 2,0 рад/с³. Найти средние значения угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от начала движения до остановки. Определить угловое ускорение в момент остановки тела. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Угловая скорость есть первая производная от φ по t:

ω = φ’ = (6,0∙t – 2,0∙t³)´ = 6,0 – 6,0∙t².

Тело остановится ω = 0, найдем время движения точки до остановки:
 

6,0 – 6,0∙t² = 0,

t² = 1,0, t = 1,0 с.
Угловое ускорение есть вторая производная от φ по t:

ε = φ’’ = (6,0∙t – 2,0∙t³)´´ = (6,0 – 6,0∙t²)´ = -12,0∙t.

Определим модуль углового ускорения тела в момент его остановки:
ε = 12,0 рад/с².
Найдем средние значения угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от начала движения до остановки t = 1,0 с.

\[ \left\langle \omega  \right\rangle =\frac{\varphi -{{\varphi }_{0}}}{t},\ {{\varphi }_{0}}=0,\ \left\langle \omega  \right\rangle =\frac{\varphi }{t}\ =\frac{6,0\cdot t-2,0\cdot {{t}^{3}}}{t}\ =6,0-2,0\cdot {{t}^{2}}. \]

ω = 4,0 рад/с.

\[ \left\langle \varepsilon  \right\rangle =\frac{\omega -{{\omega }_{0}}}{t},\ {{\omega }_{0}}=6,0,\ \left\langle \varepsilon  \right\rangle =\frac{\omega }{t}\ =\frac{6,0-6,0\cdot {{t}^{2}}-6,0}{t}\ =-6,0\cdot t. \]

ε = 6,0 рад/с².