Идеальный одноатомный газ

[Антон Огурцевич]

Идеальный одноатомный газ в количестве ν = 2 моль находится при температуре Т₁ = 250 К. Объём газа увеличивают в 2 раза так, что давление линейно зависит от объёма, а затем газ изобарно сжимают до прежнего объёма. Какое количество теплоты получил газ в двух процессах, если конечное давление на 40% больше начального? Универсальная газовая постоянная 8300 Дж/(кмоль*К). Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Покажем рисунок.
Используя уравнение Клапейрона – Менделеева определим температуру Т₂ и Т₃.

\[ \begin{align}
  & p\cdot V=\nu \cdot R\cdot T,\ {{p}_{0}}\cdot {{V}_{0}}=\nu \cdot R\cdot {{T}_{1}},\ 1,4\cdot {{p}_{0}}\cdot 2\cdot {{V}_{0}}=\nu \cdot R\cdot {{T}_{2}},\ {{T}_{2}}=\frac{2,8\cdot {{p}_{0}}\cdot {{V}_{0}}}{\nu \cdot R}, \\
 & {{T}_{2}}=\frac{2,8\cdot \nu \cdot R\cdot {{T}_{1}}}{\nu \cdot R},\ {{T}_{2}}=2,8\cdot {{T}_{1}},\ {{T}_{2}}=700K. \\
 & 1,4\cdot {{p}_{0}}\cdot {{V}_{0}}=\nu \cdot R\cdot {{T}_{3}},\ {{T}_{3}}=\frac{1,4\cdot {{p}_{0}}\cdot {{V}_{0}}}{\nu \cdot R}, \\
 & {{T}_{3}}=\frac{1,4\cdot \nu \cdot R\cdot {{T}_{1}}}{\nu \cdot R},\ {{T}_{3}}=1,4\cdot {{T}_{1}},\ {{T}_{3}}=350K. \\
\end{align} \]

Определим количество теплоты на участке 1 – 2. Используем первый закон термодинамики.

Q₁₂ = А₁₂ + ∆U₁₂   (1).

Работу на участке 1 – 2 определим, как площадь трапеции V₀122∙V₀.

\[ \begin{align}
  & {{A}_{12}}=\frac{({{p}_{0}}+1,4\cdot {{p}_{0}})}{2}\cdot (2\cdot {{V}_{0}}-{{V}_{0}})=\frac{2,4\cdot {{p}_{0}}}{2}\cdot {{V}_{0}}=1,2\cdot {{p}_{0}}\cdot {{V}_{0}},\ {{p}_{0}}\cdot {{V}_{0}}=\nu \cdot R\cdot {{T}_{1}}, \\
 & {{A}_{12}}=1,2\cdot \nu \cdot R\cdot {{T}_{1}}\ \ \ \ (2). \\
 & \Delta {{U}_{12}}=\frac{3}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot ({{T}_{2}}-{{T}_{1}})\ \ \ (3). \\
 & {{Q}_{12}}=1,2\cdot \nu \cdot R\cdot {{T}_{1}}+\frac{3}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot ({{T}_{2}}-{{T}_{1}})\ =\nu \cdot R\cdot (1,2\cdot {{T}_{1}}+\frac{3}{2}\cdot ({{T}_{2}}-{{T}_{1}})). \\
 & {{Q}_{12}}=2\cdot 8,3\cdot (1,2\cdot 250+1,5\cdot 450)=16185. \\
\end{align}
 \]

Определим количество теплоты на участке 2 – 3. Используем первый закон термодинамики.

Q₂₃ = А₂₃ + ∆U₂₃   (4).

\[ \begin{align}
  & {{A}_{23}}=\nu \cdot R\cdot ({{T}_{3}}-{{T}_{2}})\ \ \ (5),\ \Delta {{U}_{23}}=\frac{3}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot ({{T}_{3}}-{{T}_{2}})\ \ \ (6), \\
 & {{Q}_{23}}=\nu \cdot R\cdot ({{T}_{3}}-{{T}_{2}})\ +\frac{3}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot ({{T}_{3}}-{{T}_{2}})=\frac{5}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot ({{T}_{3}}-{{T}_{2}})\ \ \ (7). \\
 & {{Q}_{23}}=\frac{5}{2}\cdot 2\cdot 8,3\cdot (350-700)\ \ =-14525. \\
\end{align} \]