Два одинаковых заряда

[Антон Огурцевич]

Два одинаковых заряда находятся в воздухе на расстоянии r = 0,1 м друг от друга. Напряжённость поля в точке, удалённой на расстоянии r₁ = 0,06 м от одного и r₂ = 0,08 м от другого заряда, равна Е = 10 кВ/м. Определить потенциал поля в этой точке и величины зарядов. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Определим величины зарядов. Покажем рисунок. Будем считать заряды положительными. Если заряд положительный вектор напряженности в точке направлен от заряда.
соsα найдем используя теорему косинусов:

\[ \begin{align}
  & {{r}^{2}}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2\cdot {{r}_{1}}\cdot {{r}_{2}}\cdot \cos \alpha , \\
 & cos\alpha =\frac{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-{{r}^{2}}}{2\cdot {{r}_{1}}\cdot {{r}_{2}}}\ \ \ (2).\ cos\alpha =\frac{{{0,06}^{2}}+{{0,08}^{2}}-{{0,1}^{2}}}{2\cdot 0,06\cdot 0,08}=0. \\
\end{align}
 \]

соsα = 0, α = 90°.
Для нахождения напряженности используем теорему косинусов:

\[ {{E}^{2}}=E_{1}^{2}+E_{2}^{2}+2\cdot {{E}_{1}}\cdot {{E}_{2}}\cdot \cos \alpha \ \ \ (3). \]

Учитываем, что соsα = 0:

\[ \begin{align}
  & {{E}_{1}}=\frac{k\cdot \left| q \right|}{{{r}_{1}}^{2}},\ {{E}_{2}}=\frac{k\cdot \left| q \right|}{{{r}_{2}}^{2}}, \\
 & {{E}^{2}}={{(\frac{k\cdot \left| q \right|}{{{r}_{1}}^{2}})}^{2}}+{{(\frac{k\cdot \left| q \right|}{{{r}_{2}}^{2}})}^{2}},\ E=\sqrt{{{(\frac{k\cdot \left| q \right|}{{{r}_{1}}^{2}})}^{2}}+{{(\frac{k\cdot \left| q \right|}{{{r}_{2}}^{2}})}^{2}}},\ E=\left| q \right|\cdot \sqrt{{{(\frac{k}{{{r}_{1}}^{2}})}^{2}}+{{(\frac{k}{{{r}_{2}}^{2}})}^{2}}},\  \\
 & \left| q \right|=\frac{E}{k\cdot \sqrt{{{(\frac{1}{{{r}_{1}}^{2}})}^{2}}+{{(\frac{1}{{{r}_{2}}^{2}})}^{2}}}},\ \left| q \right|=\frac{E}{k\cdot \sqrt{\frac{r_{1}^{4}+r_{2}^{4}}{r_{1}^{4}\cdot r_{2}^{4}}}}. \\
 & \left| q \right|=\frac{{{10}^{3}}}{9\cdot {{10}^{9}}\cdot \sqrt{\frac{{{0,06}^{4}}+{{0,08}^{4}}}{{{0,06}^{4}}\cdot {{0,08}^{4}}}}}=0,35\cdot {{10}^{-9}}. \\
\end{align} \]

k = 9∙10⁹ Н∙м² / Кл².
q₁ = q₂ = 0,35∙10^-9 Кл.
Определим потенциал в указанной точке, учитываем, что потенциал скалярная величина:

\[ \begin{align}
  & \varphi ={{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}},\ {{\varphi }_{1}}=\frac{k\cdot {{q}_{1}}}{{{r}_{1}}},\ {{\varphi }_{2}}=\frac{k\cdot {{q}_{2}}}{{{r}_{2}}},\ {{q}_{1}}={{q}_{2}}=q, \\
 & \varphi =\frac{k\cdot q}{{{r}_{1}}}+\frac{k\cdot q}{{{r}_{2}}},\varphi =k\cdot q\cdot (\frac{1}{{{r}_{1}}}+\frac{1}{{{r}_{2}}}),\ \varphi =k\cdot q\cdot (\frac{{{r}_{2}}+{{r}_{1}}}{{{r}_{1}}\cdot {{r}_{2}}})\ . \\
 & \varphi =9\cdot {{10}^{9}}\cdot 0,35\cdot {{10}^{-9}}\cdot (\frac{0,06+0,08}{0,06\cdot 0,08})=91,87. \\
\end{align} \]

  φ = 91,87 В.