Решение: элементарное количество теплоты dQ, выделившееся в проводнике за время dt, равно
\[ dQ=I^{2} \cdot R\cdot dt, \]
Здесь I сила тока. По условию задачи, ток равномерно возрастает, т.е. линейно зависит от времени
\[ \begin{array}{l} {I=k\cdot t+I_{1},} \\ {k=\frac{I_{2} -I_{1} }{\tau }.} \end{array} \]
Здесь τ = 50 с, I2 = 10 А – значение силы тока через время τ, I1 = 5 А – начальное значение силы тока, k – коэффициент пропорциональности. Полное количество теплоты Q найдём интегрированием
\[ \begin{array}{l}{Q=\int dQ=\int _{0}^{\tau }I^{2} \cdot R\cdot dt =\int _{0}^{\tau }\left(k\cdot t+I_{1} \right)^{2} \cdot R\cdot dt =R\cdot \int _{0}^{\tau }\left(k^{2} \cdot t^{2} +2\cdot k\cdot I_{1} \cdot t+I_{1}^{2} \right)\cdot dt } \\ {Q=R\cdot \left(k^{2} \cdot \frac{\tau ^{3} }{3} +2\cdot k\cdot I_{1} \cdot \frac{\tau ^{2}}{2} +I_{1}^{2} \cdot \tau \right)=R\cdot \left(\frac{\left(I_{2} -I_{1} \right)}{\tau ^{2} } ^{2} \cdot \frac{\tau ^{3}}{3} +2\cdot \frac{\left(I_{2} -I_{1} \right)}{\tau } \cdot I_{1} \cdot \frac{\tau ^{2}}{2} +I_{1}^{2} \cdot \tau \right),} \\ {Q=R\cdot \tau \cdot \left(\frac{\left(I_{2} -I_{1} \right)}{3} ^{2} +\left(I_{2} -I_{1} \right)\cdot I_{1} +I_{1}^{2} \right)=R\cdot \tau \cdot \left(\frac{\left(I_{2} -I_{1} \right)}{3} ^{2} +I_{2} \cdot I_{1} \right).} \end{array} \]
Ответ: 29167 Дж = 29,17 кДж
