К пружине подвешена чашка весов с гирями

[Антон Огурцевич]

Задача 1 .
К пружине подвешена чашка весов с гирями. При этом период вертикальных колебаний Т₁ = 0,5 с. После того, как на чашку весов положили еще добавочные гири, период вертикальных колебаний стал равным Т₂=0,6 с. На сколько удлинилась пружина от прибавления этого добавочного груза? Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Запишем формулу для определения удлинения пружины:

\[ \begin{align}
  & \Delta x={{x}_{2}}-{{x}_{1}}\ \ \ (1),\ m\cdot g=k\cdot {{x}_{1}},\ {{x}_{1}}=\frac{m\cdot g}{k}\ \ \ (2),\ (m+\Delta m)\cdot g=k\cdot {{x}_{2}},\  \\
 & {{x}_{2}}=\frac{(m+\Delta m)\cdot g}{k}\ \ \ (3),\ \Delta x=\frac{(m+\Delta m)\cdot g}{k}-\frac{m\cdot g}{k},\ \Delta x=\frac{\Delta m\cdot g}{k}\ \ \ (4). \\
\end{align} \]

Период вертикальных колебаний пружинного маятника определим по формуле:

\[ \begin{align}
  & {{T}_{1}}=2\cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}},\ \frac{m}{k}=\frac{T_{1}^{2}}{4\cdot {{\pi }^{2}}}\ \ \ (5),\ {{T}_{2}}=2\cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m+\Delta m}{k}},\ \frac{m}{k}+\frac{\Delta m}{k}=\frac{T_{2}^{2}}{4\cdot {{\pi }^{2}}}, \\
 & \frac{\Delta m}{k}=\frac{T_{2}^{2}}{4\cdot {{\pi }^{2}}}-\frac{T_{1}^{2}}{4\cdot {{\pi }^{2}}}\ \ \ (6),\ \Delta x=\frac{T_{2}^{2}-T_{1}^{2}}{4\cdot {{\pi }^{2}}}\cdot g\ \ \ (7). \\
 & \Delta x=\frac{{{0,6}^{2}}-{{0,5}^{2}}}{4\cdot {{3,14}^{2}}}\cdot 10=0,02789.\  \\
\end{align} \]

Ответ: 28 мм.