Бобина магнитофонной плёнки

[Антон Огурцевич]

5. Бобина магнитофонной плёнки (спросите у родителей или посмотрите в интернете, что это такое) проигрывается в течение времени T. Начальный радиус бобины (с плёнкой) равен R, а конечный (без плёнки) – r. Какова толщина плёнки, если известно, что она очень тонкая. Считайте, что бобина проигрывается с постоянной скоростью протяжки плёнки υ. Как зависит угловая скорость вращения бобины от времени? Если Вам понадобятся какие-то формулы из геометрии, которые Вы еще не проходили, пожалуйста, найдите их в любом справочнике по элементарной математике. Сделать рисунок.

[Сергей]

 Решение.
Определим толщину пленки.

\[ \begin{align}
  & {{S}_{1}}={{S}_{2}}+l\cdot d\ \ \ (1),\ {{S}_{1}}=\pi \cdot {{R}^{2}}\ \ \ (2),\ {{S}_{2}}=\pi \cdot {{r}^{2}}\ \ \ (3),\ l=\ \upsilon \cdot t\ \ \ (4),\ \pi \cdot {{R}^{2}}=\pi \cdot {{r}^{2}}+\ \upsilon \cdot t\cdot d\ , \\
 & d=\frac{\pi \cdot {{R}^{2}}-\pi \cdot {{r}^{2}}}{\ \upsilon \cdot T}\ \ \ \ (5). \\
\end{align} \]

Где: l – длина пленки, d – толщина пленки, S₁ – площадь бобины с пленкой, S₂ – площадь оставшейся части бобины когда пленка проиграется.
Определим, как зависит угловая скорость вращения бобины от времени?
При проигрывании пленки угловая скорость вращения бобины увеличивается.

\[ \begin{align}
  & \omega ={{\omega }_{0}}+\varepsilon \cdot t\ \ \ (6),\ {{\omega }_{0}}=\frac{2\cdot \pi }{R}\ \ \ (7),\ \varepsilon =\frac{{{\omega }_{K}}-{{\omega }_{0}}}{T}\ \ \ (8\ ),\ {{\omega }_{K}}=\frac{2\cdot \pi }{r}\ \ \ (9), \\
 & \omega =\frac{2\cdot \pi }{R}+\frac{\frac{2\cdot \pi }{r}-\frac{2\cdot \pi }{R}}{T}\cdot t\ ,\ \omega =\frac{2\cdot \pi }{R}+\frac{2\cdot \pi \cdot (R-r)}{R\cdot r\cdot T}\cdot t\ \ (10). \\
\end{align}
 \]

ω₀ – начальная угловая скорость, ε – быстрота изменения угловой скорости, ω_К – конечная угловая скорость.