Определить момент инерции диска

[Антон Огурцевич]

Определить момент инерции диска радиусом R = 6 см и массой М = 3 кг относительно перпендикулярной оси, проходящей через его центр, если на диске по его диаметру вплотную лежат 3 диска радиусом r = 2 см и массой m = 0,5 кг. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение. Момент инерции скалярная величина. Определим суммарный момент инерции каждого диска относительно перпендикулярной оси, проходящей через центр большего диска.
Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит от массы, формы и размеров тела, а также и от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J₀ (J₀ – момент инерции диска) относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния l между осями:

\[ \begin{align}
  & J={{J}_{0}}+m\cdot {{l}^{2}}\ \ \ (1),\ {{J}_{1}}=\frac{M\cdot {{R}^{2}}}{2}\ \ \ (2)\ ,\ {{J}_{2}}=\frac{m\cdot {{r}^{2}}}{2}\ \ \ (3)\ ,\ {{J}_{3}}=\frac{m\cdot {{r}^{2}}}{2}+m\cdot {{(r+\frac{1}{2}\cdot r)}^{2}}, \\
 & \ {{J}_{3}}=\frac{m\cdot {{r}^{2}}}{2}+m\cdot {{(\frac{3}{2}\cdot r)}^{2}}=\frac{11\cdot m\cdot {{r}^{2}}}{4}\ \ (4)\ ,\ {{J}_{4}}=\frac{11\cdot m\cdot {{r}^{2}}}{4}\ \ (5)\ . \\
 & J={{J}_{1}}+{{J}_{2}}+{{J}_{3}}+{{J}_{4}}\ \ \ (6).\ J=\frac{M\cdot {{R}^{2}}}{2}+\frac{m\cdot {{r}^{2}}}{2}+\frac{11\cdot m\cdot {{r}^{2}}}{4}+\frac{11\cdot m\cdot {{r}^{2}}}{4}=\frac{M\cdot {{R}^{2}}+12\cdot m\cdot {{r}^{2}}}{2}. \\
\end{align} \]

\[ J=\frac{3\cdot {{0,06}^{2}}+12\cdot 0,5\cdot {{0,02}^{2}}}{2}=0,0066. \]

J = 6,6∙10^-3 кг∙м².