Решение:
Объемная плотность \[ \rho =\frac{Q}{V}, \]где\[ V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}} \]- объем шара.
Откуда найдем заряд шара \[ Q=\rho V=\rho \frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=1\cdot {{10}^{-9}}\frac{4}{3}\cdot 3,14\cdot {{0,1}^{3}}=4,2\cdot {{10}^{-12}Кл}. \]
а) r1 = 6 см < R, то согласно теореме Остроградского-Гаусса: поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность пропорционален заряду, заключенному в ней:\[ \oint_{S}{\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q}{{{\varepsilon }_{0}}}}, \] здесь ε0 = 8,85 ∙ 10-12 Ф/м – электрическая постоянная.
\[ E\cdot (4\pi {{r}^{2}})=\rho \cdot \frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}\cdot \frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}; \]
\[ E=\frac{\rho r}{3{{\varepsilon }_{0}}}; \]\[ \rho =\frac{Q}{V}=\frac{3Q}{4\pi {{R}^{3}}}, \]
\[ E=\frac{3Qr}{3{{\varepsilon }_{0}}4\pi {{R}^{3}}}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{Q}{{{R}^{3}}}\cdot r=k\frac{Q}{{{R}^{3}}}\cdot r. \]
\[ {{E}_{1}}=k\frac{Q}{{{R}^{3}}}\cdot r=9\cdot {{10}^{9}}\frac{4,2\cdot {{10}^{-12}}}{{{0,1}^{3}}}0,06=2,268\frac{В}{м}. \]
б) r2 = 10 см = R, то модуль напряженность электростатического поля, создаваемого объемно заряженным шаром радиусом R на поверхности шара (как и для заряженной сферы):
\[ {{E}_{2}}=k\frac{Q}{{{R}^{2}}}, \]для r = R.
\[ {{E}_{2}}=k\frac{Q}{{{R}^{2}}}=k\frac{Q}{{{r}_{2}}^{2}}=9\cdot {{10}^{9}}\frac{4,2\cdot {{10}^{-12}}}{{{0,1}^{2}}}=3,78\frac{В}{м}. \]
в) r3 = 12 см > R, то модуль напряженность электростатического поля, создаваемого объемно заряженным шаром радиусом R на расстоянии r от центра шара (как и для заряженной сферы):
\[ {{E}_{3}}=k\frac{Q}{r_{{}}^{2}}, \]для r > R.
\[ {{E}_{3}}=k\frac{Q}{r_{3}^{2}}=9\cdot {{10}^{9}}\frac{4,2\cdot {{10}^{-12}}}{{{0,12}^{2}}}=2,625\frac{В}{м}. \]
